Un matemático de la Universidad RUDN ha demostrado que no existen soluciones para las desigualdades diferenciales funcionales asociadas con las ecuaciones de tipo Kardar-Parisi-Zhang (KPZ), Ecuaciones diferenciales parciales estocásticas no lineales que surgen al describir el crecimiento de la superficie. Las condiciones obtenidas para la ausencia de soluciones ayudarán en los estudios de crecimiento de polímeros, la teoría de las redes neuronales, y reacciones químicas. El artículo fue publicado en Variables complejas y ecuaciones elípticas .

La principal dificultad de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales es que muchas de ellas no se resuelven con exactitud. Para fines prácticos, tales ecuaciones se resuelven numéricamente, y las cuestiones de la existencia y singularidad de sus soluciones se convierten en problemas por los que los científicos han estado luchando durante décadas, ya veces siglos. Uno de estos problemas, la existencia y la fluidez de Navier-Stokes, se incluyó en la famosa lista de problemas del Millennium Prize:el Clay Mathematical Institute en los Estados Unidos ofrece un premio de $ 1 millón por resolver cualquiera de estos problemas.

Cualquier ecuación diferencial parcial se define en un área determinada, p.ej., en un plano o en una esfera, o en el espacio. Generalmente, es posible encontrar una solución a tales ecuaciones en una pequeña vecindad de un punto, es decir., una solución local. Pero puede que no esté claro si existe una solución global para toda el área y cómo encontrarla.

Otro problema de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales es que sus soluciones pueden "explotar, " es decir, de repente comienzan a tender al infinito en intervalos de tiempo finitos. Si esto pasa, significa que no hay una solución general. Y viceversa, si no existe una solución general, significa que cualquier solución local que se encuentre también debe "explotar" en alguna parte. Por lo tanto, es importante buscar condiciones en las que no exista una solución general.

Los matemáticos utilizan desigualdades diferenciales en sus intentos de abordar este problema. La esencia del método es que es posible obtener desigualdades no estrictas que serán "más fuertes" que la ecuación original a partir de la ecuación diferencial parcial original. Luego, si una función no satisface estas desigualdades, definitivamente no es una solución general a la ecuación original.

Andrei Muravnik, matemático del Instituto de Matemáticas de la Universidad RUDN, utilizó el método de las desigualdades. Generalizó los teoremas existentes al caso cuasilineal que surge en el estudio de las ecuaciones de tipo KPZ. Las condiciones obtenidas no solo limitan el conjunto de posibles soluciones a las ecuaciones tipo KPZ, pero también son necesarios para la resolución de problemas que surgen en la práctica. En particular, Estos resultados ayudan a resolver los problemas de crecimiento de la superficie al modelar el comportamiento de los polímeros, y también se puede utilizar en la teoría de redes neuronales.

El método de la desigualdad predice teóricamente el comportamiento discontinuo de los sistemas físicos descritos por las ecuaciones de tipo KPZ. Esto permitirá sacar conclusiones sobre las propiedades físicas de estos sistemas. También, este método puede ayudar con los problemas de extensibilidad de las soluciones locales. Estos métodos se vuelven necesarios cuando los métodos computacionales ya no son suficientes. Problemas similares surgen en la teoría de los flujos de tráfico, reacciones químicas con difusión, así como en el modelado de transiciones de fase.

En años recientes, La teoría de que no existen soluciones generales para los problemas no lineales se ha desarrollado más. Un artículo de Andrei Muravnik continúa esta tendencia. Las condiciones para la inexistencia de soluciones son interesantes no solo desde un punto de vista teórico, pero también porque ayudarán a los científicos a estudiar una multitud de problemas aplicados. En el futuro cercano, Los resultados de matemáticas de la Universidad RUDN pueden encontrar muchas aplicaciones en la física matemática aplicada.