Por Ariel Balter, Ph.D. Actualizado el 30 de agosto de 2022
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En cálculo, la derivada es una herramienta fundamental que cuantifica cómo cambia una función. Por ejemplo, si x(t) representa la posición de un vehículo en el momento t , su derivada dx/dt da la velocidad del vehículo. Visualmente, la derivada es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto dado. Si bien la definición conceptual se basa en límites, en la práctica los matemáticos emplean un conjunto de reglas estándar y tablas de búsqueda para calcular derivadas rápidamente.
Conceptualmente, la pendiente de una línea recta entre dos puntos es la elevación sobre el recorrido:Δy / Δx . Para una función y(x) en un x específico , la derivada es la pendiente de la recta que justo toca la curva en [x, y(x)] . Para aproximar esto, se traza una línea desde [x, y(x)] a un punto cercano [x+h, y(x+h)] donde h es muy pequeño. La carrera es h y la subida es y(x+h)-y(x) . Por tanto, la pendiente es aproximadamente (y(x+h)-y(x))/h . Tomando el límite como h se acerca a cero da la pendiente exacta, denotada y'(x) o dy/dx .
Usando la definición de límite, podemos derivar la derivada de una función de potencia y(x)=x^a . Por ejemplo, si y=x^3 , entonces
dy/dx=lim_{h→0}[(x+h)^3-x^3]/h .
Expandiendo (x+h)^3 da [(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3]/h=3x^2+3xh^2+h^2 . Como h tiende a cero, los términos que contienen h desaparecer, dejando y'(x)=3x^2 . En general, d/dx x^a = a x^{a-1} .
Muchas funciones se pueden expresar como series de potencias, es decir, sumas infinitas de la forma ∑_{n=0}^{∞}C_n x^n . Por ejemplo, la función seno se expande a
sin(x)=x- x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + …
Al diferenciar término por término se obtiene la serie de potencias para cos(x) :
cos(x)=1- x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + …
Si bien los métodos de límites y series de potencias proporcionan la base, los matemáticos a menudo se basan en tablas precalculadas para derivadas elementales:d/dx sin x = cos x , d/dx e^x = e^x , d/dx ln x = 1/x , y así sucesivamente. Para funciones compuestas o de producto, reglas como la regla de la cadena y la regla del producto son indispensables. Por ejemplo, la regla de la cadena da d/dx sin(x^2)=2x cos(x^2) , y la regla del producto da d/dx[x sin x]=x cos x+sin x . Combinando estas reglas estándar con las tablas, cualquier función diferenciable puede manejarse analíticamente. Cuando las funciones se vuelven excesivamente complejas, se emplean herramientas computacionales como Mathematica o SymPy para automatizar el proceso.
