Por Allan Robinson | Actualizado el 30 de agosto de 2022
Comprender la relación entre el área de superficie de un sólido y su volumen es esencial tanto para ingenieros, arquitectos y estudiantes. Esta guía explica cómo derivar el volumen utilizando el área de superficie para una variedad de formas, desde prismas simples hasta esferas complejas, sin depender de cálculos avanzados.
Considere una S sólida delimitado por dos planos paralelos llamados bases . Si cada sección transversal paralela a estas bases tiene la misma área que las bases, la situación es ideal para un cálculo sencillo.
b ser el área de la base (y cualquier sección transversal).h Sea la distancia perpendicular entre los dos planos base.Para tales sólidos, el volumen es simplemente el producto del área de la base y la altura:
V =bh
Los prismas y cilindros se ajustan a este modelo, pero la fórmula también se aplica a cualquier forma que satisfaga la condición de sección transversal uniforme.
Ahora imagina una P sólida formado por una base y un único ápice. Vamos:
h =distancia del ápice a la base.z =distancia desde la base hasta una sección transversal paralela a ella.b =área de la base.c =área de la sección transversal.Para cualquier sección transversal, la relación de áreas es la siguiente:
(h – z)/h = c/b
Al aplicar la relación de escala se obtiene la fórmula clásica para pirámides y conos:
V =(bh)/3
Esto funciona para cualquier forma de base, siempre que se cumpla la condición de proporcionalidad.
El área de superficie de una esfera está dada por A = 4πr² . Integrando esta área con respecto al radio r da la conocida fórmula de volumen:
V =(4/3)πr³
Por lo tanto, incluso los sólidos más esféricos pueden tener sus volúmenes derivados de sus áreas de superficie.
Si domina estos pasos, podrá calcular con confianza el volumen de una amplia gama de sólidos utilizando únicamente su área de superficie y sus relaciones geométricas básicas.
