A algunas personas les gusta dar paseos al azar por el bosque, mientras que otros pueden pasear por su propio vecindario. En el mundo de las matemáticas una caminata aleatoria es de hecho más aleatoria que ésta; sería el equivalente a lanzar una moneda al aire para decidir qué dirección tomaría con cada paso.

Recientemente, Omer Tamuz de Caltech, profesor de economía y matemáticas, junto con dos de sus estudiantes de posgrado, Joshua Frisch y Pooya Vahidi Ferdowsi, y su colega Yair Hartman de la Universidad Ben-Gurion en Israel, resolvió un problema de matemáticas de larga data relacionado con caminatas al azar. La solución se publicó el verano pasado en la revista Anales de Matemáticas .

"Recuerdo que hablé con los estudiantes sobre una comprensión que teníamos con respecto a este problema, y luego, a la mañana siguiente, descubrí que se habían quedado despiertos hasta altas horas de la noche y lo resolvieron, "dice Tamuz.

"Tuvimos mucha suerte porque este proyecto nos dio la solución que queríamos. Eso es muy raro en un proyecto de matemáticas, ", dice Frisch." Alrededor del 90 por ciento de los proyectos en los que trabaja, no vas a poder resolver. Con alrededor del 10 por ciento, empiezas a progresar y trabajas mucho más duro. Y aún entonces, no siempre los resuelves. Parte de ser matemático es acostumbrarse al fracaso. A veces trabajas en algo durante meses y tienes que rendirte y pasar al siguiente proyecto ".

Los matemáticos imaginan paseos aleatorios en espacios con diferentes dimensiones y geometrías. En el nuevo estudio, el equipo de Caltech imaginó caminatas al azar en "grupos, "que son objetos que pueden tener geometrías muy diversas. Para algunos grupos, los paseos al azar eventualmente, después de mucho tiempo, convergen en una dirección específica. En esos casos, se dice que las caminatas dependen de la ruta, lo que significa que algo que sucedió al principio afecta el resultado. O, en otras palabras, algo que sucede al principio de la caminata influye en el lugar donde termina. Pero para otros grupos, la dirección de los paseos no converge, y su historia no afecta su futuro.

"Para un proceso aleatorio, ¿Es cierto que a la larga, ¿Todo se desvanece y pase lo que pase, sucederá independientemente de lo que haya sucedido antes? ¿O hay un recuerdo de lo que sucedió antes? ”Pregunta Tamuz.“ Digamos que tienes dos sociedades, y uno de ellos hace algún avance tecnológico mientras que el otro sufre un desastre natural. ¿Van a persistir para siempre estas diferencias? ¿O eventualmente desaparecerán y olvidaremos que una vez hubo una ventaja? En paseos al azar, Se sabe desde hace mucho tiempo que hay grupos que tienen estos recuerdos, mientras que en otros grupos los recuerdos se borran. Pero no estaba muy claro qué grupos tienen esta propiedad y cuáles no, es decir, ¿Qué hace que un grupo tenga memoria? Esto es lo que descubrimos ".

La solución, dice Tamuz, tenía que ver con encontrar una "forma geométrica de describir una propiedad algebraica de los grupos". Para entender la esencia de esto, piensa en un círculo. Puede describir el círculo geométricamente (como el conjunto de todos los puntos a una distancia determinada de un punto), o puede describirlo con una ecuación algebraica. En el caso del problema del paseo aleatorio, los matemáticos encontraron una nueva forma de pensar sobre las conexiones entre las propiedades geométricas y algebraicas de los grupos que estaban estudiando.

"De hecho, nos sorprendió lo fácil que fue resolver el problema una vez que descubrimos esta conexión, "dice Ferdowsi, quien explica que aunque la solución "simplemente fluyó, "el equipo enfrentó un retraso" considerable "mientras él estaba en su país de origen, Irán, y no pudo obtener una visa para regresar a Caltech". estuvimos encantados de haber resuelto un problema abierto de matemáticas de larga data ".

Frisch dice que la gran comprensión que tuvieron de este problema de matemáticas en realidad surgió de un problema anterior que era mucho más difícil. "Me había estado golpeando la cabeza durante unos meses y no podía progresar, " él dice, "Pero luego tuvimos esta idea eureka que se aplicó no solo a lo que estábamos trabajando en ese entonces, sino también a este problema más reciente. Se siente realmente bien cuando te das cuenta, "Ay Dios mío, esto realmente va a funcionar '".

los Estudio de Annals of Mathematics , noble, "Grupos Choquet-Deny y la propiedad de clase de conjugación infinita, "contó con el apoyo de la National Science Foundation y la Simons Foundation.