Una tira de Mobius. Crédito:cosma / shutterstock.com
Lo más probable es que haya encontrado objetos de un solo lado cientos de veces en su vida diaria, como el símbolo universal del reciclaje, se encuentran impresos en la parte posterior de latas de aluminio y botellas de plástico.
Este objeto matemático se llama tira de Mobius. Ha fascinado a los ecologistas, artistas ingenieros matemáticos y muchos otros desde su descubrimiento en 1858 por August Möbius, un matemático alemán que murió hace 150 años, el 26 de septiembre 1868.
Möbius descubrió la tira de un solo lado en 1858 mientras se desempeñaba como presidente de astronomía y mecánica superior en la Universidad de Leipzig. (Otro matemático llamado Listing lo describió unos meses antes, pero no publicó su trabajo hasta 1861.) Möbius parece haber encontrado la tira de Möbius mientras trabajaba en la teoría geométrica de poliedros, figuras sólidas compuestas por vértices, aristas y caras planas.
Se puede crear una tira de Möbius tomando una tira de papel, dándole un número impar de medias vueltas, luego pegando los extremos con cinta adhesiva para formar un bucle. Si toma un lápiz y dibuja una línea a lo largo del centro de la tira, verá que la línea aparentemente corre a lo largo de ambos lados del bucle.
El concepto de objeto unilateral inspiró a artistas como el diseñador gráfico holandés M.C. Escher, cuyo grabado en madera "Möbius Strip II" muestra hormigas rojas arrastrándose una tras otra a lo largo de una franja de Möbius.
La franja de Möbius tiene más de una propiedad sorprendente. Por ejemplo, intente tomar un par de tijeras y cortar la tira por la mitad a lo largo de la línea que acaba de dibujar. Puede que se sorprenda al descubrir que no le quedan dos tiras de Möbius de un solo lado más pequeñas, pero en cambio con un bucle largo de dos lados. Si no tiene un papel a mano, El grabado en madera de Escher "Möbius Strip I" muestra lo que sucede cuando se corta una tira de Möbius a lo largo de su línea central.
Si bien la tira ciertamente tiene un atractivo visual, su mayor impacto ha sido en matemáticas, donde ayudó a estimular el desarrollo de todo un campo llamado topología.
Un topólogo estudia las propiedades de los objetos que se conservan cuando se mueven, doblado, estirado o retorcido, sin cortar ni pegar piezas juntas. Por ejemplo, un par de auriculares enredados es, en un sentido topológico, lo mismo que un par de auriculares desenredados, porque cambiar uno por otro solo requiere moverse, doblar y torcer. No es necesario cortar ni pegar para transformar entre ellos.
Otro par de objetos topológicamente iguales son una taza de café y una rosquilla. Debido a que ambos objetos tienen un solo agujero, uno se puede deformar en el otro simplemente estirando y doblando.
Una taza se transforma en una rosquilla. Crédito:Wikimedia Commons
El número de agujeros en un objeto es una propiedad que solo se puede cambiar mediante el corte o el pegado. Esta propiedad, llamada "género" de un objeto, nos permite decir que un par de auriculares y una rosquilla son topológicamente diferentes, ya que una rosquilla tiene un agujero, mientras que un par de auriculares no tiene agujeros.
Desafortunadamente, una tira de Möbius y un bucle de dos caras, como una típica pulsera de silicona para concienciar, ambos parecen tener un agujero, por lo que esta propiedad es insuficiente para diferenciarlos, al menos desde el punto de vista de un topólogo.
En lugar de, la propiedad que distingue una tira de Möbius de un bucle de dos lados se llama orientabilidad. Como su número de agujeros, la orientabilidad de un objeto solo se puede cambiar mediante el corte o el pegado.
Imagínese escribiendo una nota en una superficie transparente, luego dar un paseo por esa superficie. La superficie es orientable si, cuando vuelvas de tu paseo, siempre puedes leer la nota. Sobre una superficie no orientable, es posible que regrese de su caminata solo para encontrar que las palabras que escribió aparentemente se han convertido en su imagen reflejada y solo se pueden leer de derecha a izquierda. En el bucle de dos lados, la nota siempre se leerá de izquierda a derecha, no importa a dónde te haya llevado tu viaje.
Cuando comienza el GIF, los puntos enumerados en el sentido de las agujas del reloj son negros, azul y rojo. Sin embargo, podemos mover la configuración de tres puntos alrededor de la tira de Möbius de modo que la figura esté en la misma ubicación, pero los colores de los puntos enumerados en el sentido de las agujas del reloj ahora son rojos, azul y negro. De alguna manera, la configuración se ha transformado en su propia imagen reflejada, pero todo lo que hemos hecho es moverlo por la superficie. Esta transformación es imposible en una superficie orientable como el bucle de dos lados. Crédito:David Gunderman.
Dado que la tira de Möbius no es orientable, mientras que el bucle de dos lados es orientable, eso significa que la tira de Möbius y el bucle de dos lados son topológicamente diferentes.
El concepto de orientabilidad tiene importantes implicaciones. Toma enantiómeros. Estos compuestos químicos tienen las mismas estructuras químicas excepto por una diferencia clave:son imágenes especulares entre sí. Por ejemplo, la sustancia química L-metanfetamina es un ingrediente de los inhaladores de vapor Vicks. Su imagen especular, D-metanfetamina, es una droga ilegal de Clase A. Si viviéramos en un mundo no orientable, estos productos químicos serían indistinguibles.
El descubrimiento de August Möbius abrió nuevas formas de estudiar el mundo natural. El estudio de la topología continúa produciendo resultados asombrosos. Por ejemplo, el año pasado, La topología llevó a los científicos a descubrir nuevos estados extraños de la materia. Medalla Fields de este año, el más alto honor en matemáticas, fue otorgado a Akshay Venkatesh, un matemático que ayudó a integrar la topología con otros campos como la teoría de números.
Este artículo se vuelve a publicar de The Conversation con una licencia de Creative Commons. Lea el artículo original. 
