Las líneas equiangulares son líneas en el espacio que pasan por un solo punto, y cuyos ángulos por pares son todos iguales. Representa en 2D las tres diagonales de un hexágono regular, y en 3D, las seis líneas que conectan los vértices opuestos de un icosaedro regular. Los matemáticos no se limitan a tres dimensiones, sin embargo.

"En grandes dimensiones, las cosas se ponen realmente interesantes y las posibilidades pueden parecer ilimitadas, "dice Yufei Zhao, profesor asistente de matemáticas.

Pero no son ilimitados según Zhao y su equipo de matemáticos del MIT, quien buscó resolver este problema sobre la geometría de líneas en un espacio de alta dimensión. Es un problema que los investigadores han estado desconcertado durante al menos 70 años.

Su avance determina el número máximo posible de líneas que se pueden colocar de modo que las líneas estén separadas por pares por el mismo ángulo dado. Zhao escribió el artículo con un grupo de investigadores del MIT formado por los estudiantes universitarios Yuan Yao y Shengtong Zhang, Doctor. estudiante Jonathan Tidor, y el postdoctorado Zilin Jiang. (Yao comenzó recientemente como estudiante de doctorado en matemáticas del MIT, y Jiang ahora es miembro de la facultad de la Universidad Estatal de Arizona). Su artículo se publicará en la edición de enero de 2022 de Anales de Matemáticas .

Las matemáticas de las líneas equiangulares se pueden codificar utilizando la teoría de grafos. El artículo proporciona nuevos conocimientos sobre un área de las matemáticas conocida como teoría de grafos espectrales, que proporciona herramientas matemáticas para estudiar redes. La teoría del gráfico espectral ha llevado a importantes algoritmos en informática, como el algoritmo PageRank de Google para su motor de búsqueda.

Esta nueva comprensión de las líneas equiangulares tiene implicaciones potenciales para la codificación y las comunicaciones. Las líneas equiangulares son ejemplos de "códigos esféricos, "que son herramientas importantes en la teoría de la información, permitir que diferentes partes se envíen mensajes entre sí a través de un canal de comunicación ruidoso, como los enviados entre la NASA y sus rovers de Marte.

El problema de estudiar el número máximo de líneas equiangulares con un ángulo dado se introdujo en un artículo de 1973 de P.W.H. Lemmens y J.J. Seidel.

"Este es un resultado hermoso que proporciona una respuesta sorprendentemente nítida a un problema bien estudiado en geometría extrema que recibió una atención considerable a partir de los años 60, "dice el profesor de matemáticas de la Universidad de Princeton Noga Alon.

El nuevo trabajo del equipo del MIT proporciona lo que Zhao llama "una solución satisfactoria a este problema".

"Hubo algunas buenas ideas en ese momento, pero luego la gente se quedó estancada durante casi tres décadas, ", Dice Zhao. Hubo algunos avances importantes realizados hace unos años por un equipo de investigadores que incluía a Benny Sudakov, profesor de matemáticas en el Instituto Federal Suizo de Tecnología (ETH) de Zúrich. Zhao fue el anfitrión de la visita de Sudakov al MIT en febrero de 2018 cuando Sudakov habló en el seminario de investigación combinatoria sobre su trabajo en líneas equiangulares.

Jiang se inspiró para trabajar en el problema de las líneas equiangulares basándose en el trabajo de su ex Ph.D. asesor Bukh Boris en la Universidad Carnegie Mellon. Jiang y Zhao se unieron en el verano de 2019, y se les unió Tidor, Yao, y Zhang. "Quería encontrar un buen proyecto de investigación de verano, y pensé que era un gran problema en el que trabajar, "Zhao explica." Pensé que podríamos hacer un buen progreso, pero definitivamente superó mis expectativas resolver completamente todo el problema ".

La investigación fue apoyada parcialmente por la Fundación Alfred P. Sloan y la Fundación Nacional de Ciencias. Yao y Zhang participaron en la investigación a través del Programa de Verano para Investigación de Pregrado del Departamento de Matemáticas (SPUR), y Tidor fue su mentor de estudiantes de posgrado. Sus resultados les habían valido el premio Hartley Rogers Jr. del departamento de matemáticas al mejor artículo SPUR.

"Es uno de los resultados más exitosos del programa SPUR, ", dice Zhao." No todos los días se resuelve un problema abierto de larga data ".

Una de las herramientas matemáticas clave utilizadas en la solución se conoce como teoría de grafos espectrales. La teoría de grafos espectrales nos dice cómo usar herramientas del álgebra lineal para comprender gráficos y redes. El "espectro" de un gráfico se obtiene convirtiendo un gráfico en una matriz y observando sus valores propios.

"Es como si iluminaras un haz de luz intensa en un gráfico y luego examinaras el espectro de colores que aparecen, "Explica Zhao." Descubrimos que el espectro emitido nunca puede estar demasiado concentrado cerca de la parte superior. Resulta que este hecho fundamental sobre los espectros de los gráficos nunca se ha observado ".

El trabajo proporciona un nuevo teorema en la teoría de grafos espectrales:que un grafo de grados acotado debe tener una multiplicidad sublineal de segundos valores propios. La demostración requiere conocimientos inteligentes que relacionen el espectro de un gráfico con el espectro de pequeñas partes del gráfico.

"La prueba funcionó de manera limpia y hermosa, "Dice Zhao." Nos divertimos mucho trabajando juntos en este problema ".