En septiembre de 2019, investigadores, aprovechar la potencia combinada de medio millón de ordenadores domésticos en todo el mundo, por primera vez encontró una solución para 42. El avance ampliamente reportado estimuló al equipo a abordar un problema aún más difícil, y de alguna manera un problema más universal:encontrar la próxima solución para 3. Créditos:Christine Daniloff, MIT
¿Qué haces después de resolver la respuesta a la vida? el universo, ¿y todo? Si son los matemáticos Drew Sutherland y Andy Booker, vas por el problema más difícil.
En 2019, Booker, en la Universidad de Bristol, y Sutherland, científico investigador principal del MIT, fueron los primeros en encontrar la respuesta a 42. El número tiene un significado para la cultura pop como la respuesta ficticia a "la pregunta fundamental de la vida, el universo, y todo, "como escribió Douglas Adams en su novela" La guía del autoestopista galáctico ". La pregunta que engendra 42, al menos en la novela, es frustrante, hilarantemente desconocido.
En matemáticas, completamente por coincidencia, existe una ecuación polinomial para la cual la respuesta, 42, había eludido de manera similar a los matemáticos durante décadas. La ecuación x 3 + y 3 + z 3 =k se conoce como el problema de la suma de cubos. Aunque aparentemente sencillo, la ecuación se vuelve exponencialmente difícil de resolver cuando se enmarca como una "ecuación diofántica", un problema que estipula que, para cualquier valor de k, los valores de x, y, yz deben ser números enteros.
Cuando la ecuación de suma de cubos se enmarca de esta manera, para ciertos valores de k, las soluciones enteras para x, y, yz puede crecer hasta cifras enormes. El espacio numérico en el que los matemáticos deben buscar estos números es aún mayor, requiriendo cálculos intrincados y masivos.
A través de los años, matemáticos habían logrado a través de varios medios resolver la ecuación, ya sea encontrando una solución o determinando que una solución no debe existir, para cada valor de k entre 1 y 100, excepto 42.
En septiembre de 2019, Booker y Sutherland, aprovechar la potencia combinada de medio millón de ordenadores domésticos en todo el mundo, por primera vez encontró una solución para 42. El avance ampliamente reportado estimuló al equipo a abordar un problema aún más difícil, y de alguna manera un problema más universal:encontrar la siguiente solución para 3.
Booker y Sutherland han publicado las soluciones para 42 y 3, junto con varios otros números superiores a 100, esta semana en el procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias .
Recogiendo el guante
Las dos primeras soluciones para la ecuación x 3 + y 3 + z 3 =3 podría ser obvio para cualquier estudiante de álgebra de secundaria, donde x, y, yz puede ser 1, 1, y 1, o 4, 4, y -5. Encontrar una tercera solución, sin embargo, ha dejado perplejos a los teóricos de los números expertos durante décadas, y en 1953 el acertijo llevó al matemático pionero Louis Mordell a formular la pregunta:¿Es posible saber si existen otras soluciones para 3?
"Esto fue algo así como Mordell arrojando el guante, "dice Sutherland." El interés en resolver esta cuestión no es tanto por la solución en particular, pero para comprender mejor lo difícil que es resolver estas ecuaciones. Es un punto de referencia con el que podemos medirnos ".
A medida que pasaban las décadas sin nuevas soluciones para 3, muchos empezaron a creer que no había ninguno. Pero poco después de encontrar la respuesta a 42, El método de Booker y Sutherland, en un tiempo sorprendentemente corto, apareció la siguiente solución para 3:
569936821221962380720 3 + (-569936821113563493509) 3 + (-472715493453327032) 3 =3
El descubrimiento fue una respuesta directa a la pregunta de Mordell:Sí, es posible encontrar la siguiente solución a 3, y lo que es más, aquí está esa solución. Y quizás más universalmente, la solución, involucrando gigantes, Números de 21 dígitos que no era posible filtrar hasta ahora, sugiere que existen más soluciones, para 3, y otros valores de k.
"Hubo serias dudas en las comunidades matemáticas y computacionales, porque [la pregunta de Mordell] es muy difícil de probar, "Dice Sutherland." Los números se vuelven tan grandes tan rápido. Nunca encontrará más que las primeras soluciones. Pero lo que puedo decir es habiendo encontrado esta única solución, Estoy convencido de que hay muchísimos más ahí fuera ".
El giro de una solución
Para encontrar las soluciones para 42 y 3, el equipo comenzó con un algoritmo existente, o una torsión de la ecuación de suma de cubos en una forma que creían que sería más manejable de resolver:
k - z 3 =x 3 + y 3 =(x + y) (x 2 - xy + y 2 )
Este enfoque fue propuesto por primera vez por el matemático Roger Heath-Brown, quien conjeturó que debería haber infinitas soluciones para cada k adecuado. El equipo modificó aún más el algoritmo al representar x + y como un solo parámetro, D. Luego redujeron la ecuación dividiendo ambos lados por dy manteniendo solo el resto —una operación en matemáticas denominada "módulo d" - dejando una representación simplificada del problema.
"Ahora puedes pensar en k como una raíz cúbica de z, módulo d, "Sutherland explica." Así que imagina trabajar en un sistema de aritmética en el que solo te preocupas por el resto módulo d, y estamos tratando de calcular una raíz cúbica de k ".
Con esta versión más elegante de la ecuación, los investigadores solo tendrían que buscar valores de dyz que garanticen encontrar las soluciones finales ax, y, yz, para k =3. Pero aún, el espacio de números en el que tendrían que buscar sería infinitamente grande.
Entonces, los investigadores optimizaron el algoritmo mediante el uso de técnicas matemáticas de "tamizado" para reducir drásticamente el espacio de posibles soluciones para d.
"Esto implica una teoría de números bastante avanzada, usar la estructura de lo que sabemos sobre los campos numéricos para evitar buscar en lugares donde no necesitamos mirar, "Dice Sutherland.
Una tarea global
El equipo también desarrolló formas de dividir de manera eficiente la búsqueda del algoritmo en cientos de miles de flujos de procesamiento en paralelo. Si el algoritmo se ejecutara en una sola computadora, Habría sido necesario cientos de años para encontrar una solución para k =3. Al dividir el trabajo en millones de tareas más pequeñas, cada uno se ejecuta de forma independiente en una computadora separada, el equipo podría acelerar aún más su búsqueda.
En septiembre de 2019, los investigadores pusieron en práctica su plan a través de Charity Engine, un proyecto que se puede descargar como aplicación gratuita en cualquier computadora personal, y que está diseñado para aprovechar cualquier poder de computación doméstico disponible para resolver colectivamente problemas matemáticos difíciles. En el momento, La cuadrícula de Charity Engine comprendía más de 400, 000 computadoras en todo el mundo, y Booker y Sutherland pudieron ejecutar su algoritmo en la red como prueba de la nueva plataforma de software de Charity Engine.
"Para cada computadora de la red, se les dice, 'su trabajo es buscar d's cuyo factor primo se encuentre dentro de este rango, sujeto a algunas otras condiciones, ", Dice Sutherland." Y tuvimos que averiguar cómo dividir el trabajo en aproximadamente 4 millones de tareas, cada una de las cuales tardaría unas tres horas en completarse ".
Muy rápidamente, la cuadrícula global devolvió la primera solución a k =42, y solo dos semanas después, los investigadores confirmaron que habían encontrado la tercera solución para k =3, un hito que marcaron, en parte, imprimiendo la ecuación en camisetas.
El hecho de que exista una tercera solución para k =3 sugiere que la conjetura original de Heath-Brown era correcta y que hay infinitamente más soluciones más allá de esta última. Heath-Brown también predice que el espacio entre soluciones crecerá exponencialmente, junto con sus búsquedas. Por ejemplo, en lugar de los valores de 21 dígitos de la tercera solución, la cuarta solución para x, y, y z probablemente involucrará números con 28 dígitos alucinantes.
"La cantidad de trabajo que tiene que hacer para cada nueva solución aumenta en un factor de más de 10 millones, por lo que la siguiente solución para 3 necesitará 10 millones de veces 400, 000 computadoras para encontrar, y no hay garantía de que sea suficiente "Sutherland dice." No sé si alguna vez conoceremos la cuarta solución. Pero creo que está ahí fuera ".
