En matemáticas, ningún investigador trabaja en verdadero aislamiento. Incluso aquellos que trabajan solos utilizan los teoremas y métodos de sus colegas y predecesores para desarrollar nuevas ideas.

Pero cuando una técnica conocida es demasiado difícil de usar en la práctica, Los matemáticos pueden descuidar problemas importantes y, por lo demás, solucionables.

Recientemente, Me uní a varios matemáticos en un proyecto para facilitar el uso de una de esas técnicas. Producimos un paquete de computadora para resolver un problema llamado "ecuación de unidad S, "con la esperanza de que los teóricos de los números de todo tipo puedan atacar más fácilmente una amplia variedad de problemas matemáticos sin resolver.

Ecuaciones diofánticas

En su texto "Arithmetica, "el matemático Diofanto examinó las ecuaciones algebraicas cuyas soluciones deben ser números enteros. Da la casualidad de que estos problemas tienen mucho que ver tanto con la teoría de números como con la geometría, y los matemáticos los han estado estudiando desde entonces.

¿Por qué agregar esta restricción de solo soluciones de números enteros? Algunas veces, las razones son prácticas; no tiene sentido criar 13,7 ovejas o comprar -1,66 coches. Adicionalmente, los matemáticos se sienten atraídos por estos problemas, ahora llamadas ecuaciones diofánticas. El atractivo proviene de su sorprendente dificultad, y su capacidad para revelar verdades fundamentales sobre la naturaleza de las matemáticas.

De hecho, Los matemáticos a menudo no están interesados ​​en las soluciones específicas a ningún problema diofantino en particular. Pero cuando los matemáticos desarrollan nuevas técnicas, su poder puede demostrarse resolviendo ecuaciones diofánticas no resueltas previamente.

La prueba de Andrew Wiles del último teorema de Fermat es un ejemplo famoso. Pierre de Fermat reclamó en 1637 - en el margen de una copia de "Arithmetica, "nada menos - haber resuelto la ecuación diofántica xⁿ + yⁿ =zⁿ, pero no ofreció ninguna justificación. Cuando Wiles lo demostró más de 300 años después, los matemáticos se dieron cuenta de inmediato. Si Wiles hubiera desarrollado una nueva idea que pudiera resolver Fermat, entonces, ¿qué más podría hacer esa idea? Los teóricos de los números se apresuraron a comprender los métodos de Wiles, generalizándolos y encontrando nuevas consecuencias.

No existe un método único que pueda resolver todas las ecuaciones diofánticas. En lugar de, los matemáticos cultivan diversas técnicas, cada uno adecuado para ciertos tipos de problemas diofánticos, pero no para otros. Entonces, los matemáticos clasifican estos problemas por sus características o complejidad, al igual que los biólogos podrían clasificar las especies por taxonomía.

Clasificación más fina

Esta clasificación produce especialistas, como diferentes teóricos de números se especializan en las técnicas relacionadas con diferentes familias de problemas diofánticos, como curvas elípticas, formas binarias o ecuaciones de Thue-Mahler.

Dentro de cada familia, la clasificación más fina se personaliza. Los matemáticos desarrollan invariantes (ciertas combinaciones de los coeficientes que aparecen en la ecuación) que distinguen diferentes ecuaciones en la misma familia. Calcular estos invariantes para una ecuación específica es fácil. Sin embargo, las conexiones más profundas con otras áreas de las matemáticas implican preguntas más ambiciosas, tales como:"¿Hay curvas elípticas con invariante 13?" o "¿Cuántas formas binarias tienen invariante 27?"

La ecuación de la unidad S se puede utilizar para resolver muchas de estas preguntas más importantes. La S se refiere a una lista de primos, como {2, 3, 7}, relacionado con la pregunta en particular. Una unidad S es una fracción cuyo numerador y denominador se forman multiplicando solo números de la lista. Entonces, en este caso, 3/7 y 14/9 son unidades S, pero 6/5 no lo es.

La ecuación de la unidad S es engañosamente simple de expresar:encuentra todos los pares de unidades S que suman 1. Al encontrar algunas soluciones, como (3/7, 4/7), se puede hacer con lápiz y papel. Pero la palabra clave es "todos, "y eso es lo que dificulta el problema, tanto teórica como computacionalmente. ¿Cómo puede estar seguro de que se han encontrado todas las soluciones?

En principio, Los matemáticos han sabido cómo resolver la ecuación de la unidad S durante varios años. Sin embargo, el proceso es tan complicado que nadie podría resolver la ecuación a mano, y se han resuelto pocos casos. Esto es frustrante, porque muchos problemas interesantes ya se han reducido a "simplemente" resolver alguna ecuación de unidad S en particular.

Cómo funciona el solucionador

Las circunstancias están cambiando sin embargo. Desde 2017 seis teóricos de los números en América del Norte, yo incluido, han estado construyendo un solucionador de ecuaciones de unidad S para el software matemático de código abierto SageMath. El 3 de marzo anunciamos la finalización del proyecto. Para ilustrar su aplicación, utilizamos el software para resolver varios problemas diofánticos abiertos.

La principal dificultad de la ecuación de la unidad S es que, si bien solo existirán un puñado de soluciones, hay infinitas unidades S que podrían ser parte de una solución. Combinando un célebre teorema de Alan Baker y una delicada técnica algorítmica de Benne de Weger, el solucionador elimina la mayoría de las unidades S de la consideración. Incluso en este punto, puede que queden miles de millones de unidades S, o más, por verificar; el programa ahora intenta hacer que la búsqueda final sea lo más eficiente posible.

Este enfoque de la ecuación de la unidad S se conoce desde hace más de 20 años, pero se ha utilizado con moderación, porque los cálculos involucrados son complicados y requieren mucho tiempo. Previamente, si un matemático encuentra una ecuación de unidad S que quiere resolver, no había una forma automática de resolverlo. Tendría que analizar cuidadosamente el trabajo de Baker, de Weger y otros, luego escribe su propio programa de computadora para hacer los cálculos. Ejecutar el programa puede llevar horas, días o incluso semanas para que finalicen los cálculos.

Nuestra esperanza es que el software ayude a los matemáticos a resolver problemas importantes en la teoría de números y mejorar su comprensión de la naturaleza, belleza y eficacia de las matemáticas.

Este artículo se ha vuelto a publicar de The Conversation con una licencia de Creative Commons. Lea el artículo original.