Una línea tangente toca una curva suave exactamente en un punto, compartiendo la misma pendiente instantánea que la curva en ese lugar. Determinar su ecuación es una tarea de cálculo rutinaria que se basa en la derivada de la función.
Calcule f ′(x) usando reglas de diferenciación estándar. Para funciones de potencia, f(x)=xⁿ, la regla de potencia da f ′(x)=nxⁿ⁻¹. Por ejemplo, para f(x)=2x²+4x+10, la derivada es f ′(x)=4x+4=4(x+1).
Cuando la función es un producto, aplica la regla del producto:(f₁f₂)′ =f₁f₂′ + f₁′f₂. Por ejemplo, f(x)=x²(x²+2x) produce f ′(x)=x²(2x+2)+2x(x²+2x)=4x³+6x².
La pendiente de la tangente es igual a la derivada evaluada en el valor de x elegido. Para f(x)=2x²+4x+10 en x=5, la pendiente es m =f ′(5) =4(5+1) =24.
Primero encuentre el punto de tangencia reemplazando el valor de x en la función original:f(5)=2·5²+4·5+10=80. Por tanto, el punto es (5,80). Usando la forma punto-pendiente y−y₀=m(x−x₀) se obtiene
y−80 =24(x−5). Reorganizando a la forma pendiente-intersección se obtiene y =24x − 1915.
Esa expresión final es la ecuación de la recta tangente a f(x) en x=5.
