Por Lisa Maloney
12 de marzo de 2023, 1:49 a. m. EST

Igor Kutyaev/iStock/GettyImages

El crecimiento exponencial aparece a menudo en el lenguaje cotidiano, pero sus fundamentos matemáticos son precisos y esenciales para muchos escenarios del mundo real. Ya sea que esté rastreando la proliferación bacteriana, evaluando el interés compuesto o modelando la dinámica de la población, se aplica la misma fórmula básica. Para calcular el crecimiento exponencial, necesitará el valor inicial, la tasa de crecimiento o disminución y el tiempo transcurrido.

La fórmula del crecimiento exponencial

La representación más común es:

f(t) = a × ekt

donde a es el valor inicial, k es la constante de crecimiento (o decrecimiento) continuo, t es el tiempo, y f(t) es el valor en el momento t . El número de Euler (e ≈ 2,71828) es la base de los logaritmos naturales y la base del cambio exponencial continuo.

Alternativamente, se suele utilizar la forma de interés compuesto:

f(t) = a(1+r)t

Aquí, r representa una tasa de crecimiento discreta (por ejemplo, interés anual) y el exponente aún rastrea los períodos transcurridos.

Derivación de la tasa de crecimiento a partir de datos observados

Consideremos a un microbiólogo midiendo una nueva especie bacteriana. Comienza con 50 células y, cinco horas después, registra 550 células.

Introduciendo estos números en el modelo continuo:

550 = 50 × ek×5

Divide ambos lados entre 50 para aislar el término exponencial:

11 = e5k

Calcula el logaritmo natural de cada lado:

ln(11) = 5k

Finalmente, resuelve para k :

k = ln(11) / 5 ≈ 0.48 · hr-1

Esta tasa indica qué tan rápido se expande la población. Para proyectar el tamaño después de 10 horas, simplemente inserte t =10 en la fórmula usando la k derivada valor.

Cuando la tasa es inferior a uno

Una tasa k por debajo de cero indica una decadencia exponencial:cada período produce menos individuos. En finanzas, este escenario a menudo representa un crecimiento negativo o una acumulación de deuda. Se aplican las mismas ecuaciones; el signo de k determina si la tendencia es crecimiento o decadencia.

Aplicaciones del crecimiento exponencial en el mundo real

• Interés compuesto: Las cuentas de ahorro, las hipotecas y los rendimientos de las inversiones se acumulan exponencialmente con el tiempo.
• Desintegración radiactiva: Los cálculos de vida media se basan en la caída exponencial para predecir cuándo se habrá transformado la mitad de una muestra.
• Tiempo de duplicación: Tanto en biología como en finanzas, el tiempo de duplicación indica cuánto tiempo le toma a una cantidad duplicarse dada una tasa de crecimiento constante.

Para calcular la vida media o el tiempo de duplicación, establezca el resultado de la fórmula en la mitad o el doble del valor inicial y resuelva el tiempo.