Imagine que se coloca un altavoz en una habitación con algunos micrófonos. Cuando el altavoz emite un impulso de sonido, los micrófonos reciben varias respuestas retardadas a medida que el sonido reverbera en cada pared de la habitación. Estos ecos de primer orden, que se escuchan después de que los impulsos de sonido han rebotado solo una vez en una pared, luego rebotan en cada pared para crear ecos de segundo orden y así sucesivamente.

En un artículo que se publicará la próxima semana en el SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry , Mireille Boutin y Gregor Kemper intentan reconstruir la forma de una habitación utilizando ecos de primer orden recibidos por cuatro micrófonos conectados a un dron. Los micrófonos están alineados en una configuración rígida y no se encuentran en un plano común. La colocación de micrófonos en un dron, en lugar de de forma independiente en toda la habitación, revela nuevas áreas de aplicación.

"Los micrófonos escuchan un breve impulso de sonido que rebota en superficies planas finitas, o las 'paredes, '"Boutin, profesor de matemáticas e ingeniería eléctrica e informática en la Universidad de Purdue, explica. "Cuando un micrófono escucha un sonido que rebota en una pared, se registra la diferencia de tiempo entre la emisión y la recepción del sonido. Esta diferencia de tiempo corresponde a la distancia recorrida por el sonido durante ese tiempo ".

El retardo de tiempo de cada eco de primer orden proporciona a los autores un conjunto de distancias desde cada micrófono para reflejar las imágenes de la fuente reflejada en cada pared. Identificar la pared correspondiente desde la que se origina cada eco es imposible; es posible que un micrófono ni siquiera reciba un eco de una pared determinada en función de su configuración y geometría de la habitación.

Los autores utilizan una técnica de modelado conocida para centrarse en los ecos de primer orden. Este método interpreta el sonido rebotado como proveniente de una fuente virtual detrás de la pared en lugar de la fuente, permitiendo así que un punto de origen virtual represente cada muro.

"Las diferencias de tiempo entre la emisión y la recepción proporcionan la distancia entre el micrófono y el punto de fuente virtual, "Dice Boutin." Si conocemos la distancia desde uno de estos puntos de fuente virtual a cada uno de los cuatro micrófonos, podemos recuperar las coordenadas de la fuente virtual y posteriormente reconstruir cuatro puntos en la pared y, por lo tanto, el plano que contiene la pared ".

Sin embargo, los micrófonos no pueden determinar la distancia que corresponde a cada punto de fuente virtual, es decir., cada pared. En respuesta, Boutin y sus colegas diseñaron un método para etiquetar las distancias que se correlacionan con cada pared, un proceso que ellos llaman "clasificación de eco".

La técnica de clasificación por eco utiliza un polinomio como prueba de detección y descubre si las cuatro distancias se encuentran en el conjunto cero de un determinado polinomio en cuatro variables. Un valor distinto de cero revela que las distancias no pueden rebotar en la misma pared. Alternativamente, si el polinomio es igual a cero, las distancias posiblemente podrían provenir de la misma pared.

Este estudio demuestra que reconstruir una habitación a partir de ecos de primer orden adquiridos por cuatro micrófonos es un problema teórico bien planteado en condiciones genéricas. "Este es un primer paso para resolver el problema del mundo real correspondiente, "Observa Boutin." Si el problema no estaba bien planteado, entonces una solución práctica requeriría más información. Pero como sabemos que está bien planteado, podemos pasar al siguiente paso:encontrar una manera de reconstruir la habitación cuando las mediciones de eco son ruidosas ".

Esta tarea no es en absoluto sencilla. Ciertas ubicaciones de drones dan lugar a problemas que no están bien planteados, sugiriendo que la versión ruidosa del problema será susceptible a un mal condicionamiento. Se necesita más trabajo para resolver adecuadamente el problema de reconstruir una habitación a partir de ecos.

Si bien el marco matemático simplemente requiere una configuración rígida de micrófonos no coplanares, la investigación tiene una gama de otras aplicaciones potenciales. "Estos micrófonos se pueden colocar dentro de una habitación o en cualquier vehículo, como un coche, un vehículo submarino, o el casco de una persona, "Gregor Kemper, profesor del Departamento de Matemáticas de la Technische Universität München, explica. El artículo de la revista de los autores presenta ejemplos con papelería, fuentes de sonido en interiores, así como fuentes colocadas en vehículos que pueden rotarse y trasladarse debido al movimiento; estas últimas fuentes presentan situaciones significativamente más complicadas.

"Un automóvil en movimiento es diferente de un dron o un vehículo submarino de una manera interesante, ", Agrega Kemper." Sus posiciones tienen sólo tres grados de libertad:ejes x, ejes y, y orientación, mientras que un dron tiene seis grados de libertad. Nuestro trabajo indica que estos seis grados de libertad son suficientes para detectar casi siempre las paredes, pero esto no significa necesariamente que también sean suficientes tres grados. El caso de un automóvil o cualquier vehículo de superficie es objeto de una investigación en curso por parte de nuestro grupo ".

Lograr la economía computacional para tales problemas es un objetivo importante para Boutin y Kemper. Su método requiere un sistema de álgebra por computadora para realizar cálculos simbólicos, que puede volverse más complejo computacionalmente para otras variaciones del problema, limitando así su expansión a problemas similares. "Sería deseable encontrar una técnica computacionalmente menos costosa para demostrar los mismos resultados, especialmente si este método resultó ser aplicable a otros casos, ", Dice Kemper." Nuestro marco matemático es adecuado para vehículos de superficie, pero los cálculos reales necesarios para la prueba presentan desafíos. Esperamos que otros equipos exploren este tema ".