Un matemático de la Universidad RUDN ha encontrado un nuevo criterio para la regularidad de las soluciones generalizadas de las ecuaciones de la hidrodinámica magnética para un fluido incompresible en un espacio tridimensional. El uso de este criterio simplifica la búsqueda de soluciones a tales ecuaciones y puede ayudar a los metalúrgicos a modelar el comportamiento del metal fundido. así como los astrofísicos para describir el plasma estelar. El artículo fue publicado en Revista de análisis y aplicaciones matemáticas .

El sistema de ecuaciones de magnetohidrodinámica describe el comportamiento de cualquier líquido eléctricamente conductor (metal fundido, electrolitos) o plasma en presencia de un campo magnético, y consta de dos ecuaciones diferenciales que relacionan el campo magnético con el campo de velocidad. Las soluciones a estos sistemas se pueden dividir en dos tipos:clásicas y generalizadas (soluciones sobre las que no se impone la condición de diferenciabilidad). A diferencia de las soluciones clásicas, los generalizados requieren que se verifique su regularidad (suavidad). Los matemáticos realizan tal verificación utilizando el criterio de regularidad.

Maria Alessandra Ragusa de la Universidad RUDN y sus colegas encontraron que las ecuaciones del sistema se pueden reducir a un par de ecuaciones de forma similar. Si intercambias las incógnitas, la primera ecuación se convierte en la segunda, y viceversa. Este resultado se puede lograr mediante la transposición de variables. Se elige una combinación de los campos deseados como nuevas variables:su suma y diferencia. El sistema se vuelve simétrico con respecto a sus nuevas incógnitas. Esto significa que las variables se pueden intercambiar sin cambiar la solución. Este enfoque simplifica la búsqueda de la respuesta:en lugar de dos ecuaciones diferentes, se resuelve un par de idénticos.

El profesor Ragusa desarrolló un criterio de regularidad para soluciones generalizadas al nuevo sistema. Se expresa en derivadas parciales de combinaciones (suma y diferencia) del campo de velocidad y el campo magnético. El criterio consta de dos condiciones iguales:para que la solución tenga la propiedad de regularidad, basta con que se cumpla al menos uno de ellos. Una vez que se encuentran las soluciones al nuevo sistema y se comprueba su regularidad, la transición de las nuevas coordenadas a los campos deseados se vuelve fácil.

El criterio establece que las soluciones son suaves si el producto escalar de las derivadas parciales de estas soluciones pertenece al espacio de Lebesgue con la condición dada.

Al probar la validez del criterio, La profesora Ragusa y sus colegas confiaron en el Ni, Guo, y criterio de Zhou. Al usar estimaciones integrales, logró demostrar que a partir de la condición para el cumplimiento de su criterio, el cumplimiento del Ni, Guo, y el criterio de Zhou, que ya ha sido probado, sigue estrictamente, lo que significa que la solución es regular.

El criterio encontrado por Ragusa y sus colegas es importante porque solo las soluciones regulares (suaves) son adecuadas para describir los procesos físicos. Solo ellos describen correctamente el comportamiento del fluido o plasma investigado.

El uso de este criterio facilitará el trabajo de los metalúrgicos que necesiten simular el comportamiento del metal fundido:muchas operaciones en la fundición de metales se realizan exponiendo el metal líquido a un campo magnético alterno. Para obtener una descripción precisa de dichos procesos, es necesario buscar soluciones suaves a los sistemas de ecuaciones de la hidrodinámica magnética. Plasma estelar, que se puede considerar como un medio continuo, también se rige por las ecuaciones de la hidrodinámica magnética. Las nuevas soluciones a los sistemas de estas ecuaciones permitirán a los astrofísicos aprender más sobre el comportamiento del plasma dentro de las estrellas.