¿Cuántos lagos hay en Alaska? Los lagos Thermokarst en la vertiente norte de Alaska son auto-similares y fractales. Crédito:Pintura de Cherissa Dukelow, CC BY-SA
Respirar. A medida que tus pulmones se expanden el aire llena 500 millones de pequeños alvéolos, cada uno tiene una fracción de milímetro de ancho. Mientras exhala estos millones de pequeñas respiraciones se fusionan sin esfuerzo a través de vías respiratorias cada vez más grandes en una última respiración.
Estas vías respiratorias son fractales.
Los fractales son una herramienta matemática para describir objetos con detalle en todas las escalas. Los matemáticos y físicos como yo usamos fractales y conceptos relacionados para comprender cómo cambian las cosas de pequeñas a grandes.
Tú y yo traducimos entre escalas muy diferentes cuando pensamos en cómo nuestras elecciones afectan al mundo. ¿Este café con leche está contribuyendo al cambio climático? ¿Debería votar en esta elección?
Estas herramientas conceptuales se aplican tanto al cuerpo como a los paisajes, desastres naturales y sociedad.
Fractales por todas partes
En 1967, El matemático Benoit Mandelbrot preguntó:"¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?"
Es una pregunta capciosa. La respuesta depende de cómo se mida. Si traza el contorno en un mapa, obtienes una respuesta, pero si caminas por la costa con un metro, el resultado es bastante diferente. Cualquiera que haya intentado estimar la longitud de una ruta de senderismo accidentada a partir de un mapa conoce la traición de la imagen a gran escala.
Eso es porque los pulmones la costa británica y las rutas de senderismo tienen fractalidad:su longitud, el número de ramas o alguna otra cantidad depende de la escala o resolución que utilice para medirlas.
Las ramas dentro de los pulmones son un ejemplo de auto-semejanza. Crédito:Diccionario enciclopédico Brockhaus y Efron / Wikimedia
La costa también es auto-similar, está hecha de copias más pequeñas de sí misma. Frondas de helecho, árboles, conchas de caracol, paisajes las siluetas de las montañas y las redes fluviales parecen versiones más pequeñas de sí mismas.
Es por eso, cuando miras una fotografía aérea de un paisaje, A menudo es difícil saber si la barra de escala debe ser de 50 km o 500 m.
Tus pulmones son auto-similares, porque el cuerpo calibra finamente cada rama en proporciones exactas, haciendo de cada rama una réplica más pequeña de la anterior. Este diseño modular hace que los pulmones sean eficientes en cualquier tamaño. Piense en un niño y un adulto, o un raton, una ballena. La única diferencia entre lo pequeño y lo grande es cuántas veces se ramifican las vías respiratorias.
La auto-semejanza y la fractalidad aparecen en el arte y la arquitectura, en los arcos dentro de los arcos de los acueductos romanos y las agujas de las catedrales góticas que reflejan el dosel del bosque. Incluso los antiguos calígrafos chinos Huai Su y Yan Zhenqing apreciaban la fractalidad de las nubes de verano, grietas en una pared y manchas de agua en una casa con goteras en 722.
Invarianza de escala
Los objetos auto-similares tienen una invariancia de escala. En otras palabras, algunas propiedades se mantienen independientemente de su tamaño, como la eficiencia de los pulmones.
En efecto, La invariancia de escala describe lo que cambia entre escalas al decir lo que no cambia.
Imagen de satélite de Gran Bretaña e Irlanda del Norte. Crédito:NASA
Leonardo da Vinci observó que, como ramas de árboles, se conserva el área total de la sección transversal de todas las ramas. En otras palabras, pasando de tronco a ramitas, el número de ramas y su diámetro cambian con cada rama, pero el grosor total de todas las ramas agrupadas sigue siendo el mismo.
La observación de Da Vinci implica una invariancia de escala:para cada rama de un cierto radio, hay cuatro ramas aguas abajo con la mitad de ese radio.
La frecuencia de los terremotos tiene una invariancia de escala similar, que se observó en la década de 1940. Me vienen a la mente los más importantes:Lisboa, 1755, San Francisco 1989, pero muchos pequeños terremotos ocurren en California todos los días. La ley de Gutenberg-Richter dice que la frecuencia de los terremotos depende del tamaño del terremoto. La respuesta es sorprendentemente simple. Un terremoto diez veces mayor ocurre aproximadamente una décima parte de la frecuencia.
La sociedad y la ley del poder
Un economista del siglo XIX, Vilifredo Pareto, famoso en la escuela de negocios por la regla 80/20, observó que el número de familias con cierta riqueza es inversamente proporcional a su riqueza. elevado a algún exponente. Pareto midió el exponente para diferentes años y diferentes países y encontró que generalmente era alrededor de 1,5.
La distribución de la riqueza de Pareto llegó a conocerse como la ley de potencia, aparentemente debido al exponente o "potencia".
Todo lo que se parezca a sí mismo tiene una ley de potencia correspondiente. En un periódico de abril, mi colega y yo describimos la ley de potencia correspondiente para los pulmones, vasos sanguíneos y árboles. Se diferencia de la ley de potencia de Pareto solo al tener en cuenta proporciones específicas entre ramas.
Un boceto de las notas de Leonardo da Vinci sobre las ramas de los árboles. Crédito:Fundación Fractal
El tamaño de las fortunas es similar al tamaño de las ramas de los árboles o los vasos sanguíneos:unos pocos troncos o ramas grandes y exponencialmente más ramitas diminutas.
Pareto pensó en su distribución de la riqueza como una ley natural, pero muchos modelos diferentes de organización social dan lugar a una distribución de Pareto y las sociedades varían en cuanto a desigualdad de riqueza. El mayor exponente de Pareto, cuanto más igualitaria es la sociedad.
Desde comprender cómo los humanos están formados por células diminutas hasta cómo afectamos al planeta, auto-semejanza, La fractalidad y la invariancia de escala a menudo ayudan a traducir de un nivel de organización a otro.
Este artículo se ha vuelto a publicar de The Conversation con una licencia de Creative Commons. Lea el artículo original. 
