Una imagen vale 1, 000 palabras, dice el dicho, pero un grupo de científicos de Harvard espera que también valga la misma cantidad de ecuaciones.

Las leyes pictóricas parecen unificar ideas de diferentes campos de conocimiento interdisciplinarios, uniéndolos maravillosamente como elementos de una pintura de Da Vinci. El grupo está trabajando para expandir el lenguaje matemático pictórico descrito por primera vez el año pasado por Arthur Jaffe, el Profesor Landon T. Clay de Matemáticas y Ciencias Teóricas, y el becario postdoctoral Zhengwei Liu.

"Hay una palabra que puedes sacar de esto:emoción, ", Dijo Jaffe." Y eso es porque no estamos tratando de resolver un problema aquí o allá, pero estamos tratando de desarrollar una nueva forma de pensar sobre las matemáticas, mediante el desarrollo y el uso de diferentes lenguajes matemáticos basados ​​en imágenes en dos, Tres, y más dimensiones ".

El año pasado crearon un lenguaje tridimensional llamado quon, que utilizaron para comprender conceptos relacionados con la teoría de la información cuántica. Ahora, una nueva investigación ha ofrecido indicios tentadores de que quon podría ofrecer información sobre una serie de otras áreas de las matemáticas, del álgebra al análisis de Fourier, así como en física teórica, desde la física estadística hasta la teoría de cuerdas. Los investigadores describen su visión del proyecto en un artículo que apareció el 2 de enero en la revista procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias .

"Ha habido una gran evolución en este trabajo durante el año pasado, y creemos que esta es la punta del iceberg ", Dijo Jaffe." Hemos descubierto que las ideas que usamos para la información cuántica son relevantes para un espectro mucho más amplio de temas. Estamos muy agradecidos de haber recibido una subvención de Templeton Religion Trust que nos permitió reunir un equipo de investigadores el verano pasado para continuar con este proyecto. incluidos los estudiantes universitarios, estudiantes de posgrado, y postdoctorados, así como colaboradores senior de otras instituciones ".

El equipo central incluye matemáticos distinguidos como Adrian Ocneanu, profesor invitado este año en Harvard, Vaughan Jones, y Alina Vdovina. Tan importantes son las estrellas en ascenso que han llegado a Harvard de todo el mundo, incluidos Jinsong Wu del Instituto de Tecnología de Harbin y William Norledge, un recién graduado de la Universidad de Newcastle. También participan estudiantes como Alex Wozniakowski, uno de los miembros originales del proyecto y ahora estudiante de la Universidad Tecnológica de Nanyang en Singapur, estudiantes graduados visitantes Kaifeng Bu de la Universidad de Zhejiang en Hangzhou, Porcelana, Weichen Gu y Boqing Xue de la Academia China de Ciencias en Beijing, Sruthi Narayanan, estudiante graduado de Harvard, y Chase Bendarz, una licenciatura en la Universidad Northwestern y Harvard.

Si bien las imágenes se han utilizado en matemáticas desde la antigüedad, Jaffe y sus colegas creen que el enfoque del equipo, que implica aplicar imágenes a las matemáticas en general y usar imágenes para explorar las conexiones entre las matemáticas y materias como la física y las ciencias cognitivas, puede marcar el surgimiento de un nuevo campo.

Entre el tipo de problemas que el equipo ya ha podido resolver, Liu dijo, es una forma pictórica de pensar sobre el análisis de Fourier.

"Desarrollamos esto, motivado por varias ideas de Ocneanu, ", dijo." Inmediatamente, Usamos esto para dar nuevos conocimientos sobre la información cuántica. Pero también descubrimos que podíamos probar una identidad algebraica elaborada para los símbolos de la fórmula 6j, "una herramienta estándar en la teoría de la representación, en física teórica, y en química.

Esa identidad se había encontrado en un caso elemental, pero el matemático de Harvard Shamil Shakirov conjeturó que era cierto en una forma general. El grupo ahora ha publicado una prueba en arXiv.org que está bajo revisión para su publicación más adelante en el año. Otra familia muy general de identidades que el grupo ha entendido simplemente usando la transformada geométrica de Fourier se conoce como fórmulas de fusión de Verlinde.

"Al observar el análisis matemático de imágenes, también encontramos algunas desigualdades nuevas realmente inesperadas. Generalizan los famosos principios de incertidumbre de [Werner] Heisenberg y de [G.H.] Hardy y se convierten en partes de una historia más amplia, "Dijo Liu." Así que las matemáticas de los lenguajes de imágenes en sí son bastante interesantes de entender. Luego vemos sus implicaciones en otros temas ".

"Estoy muy atraído por este proyecto, porque antes de esto, Estaba trabajando en información cuántica, pero la única forma que sabía de hacerlo era usando álgebra lineal, "dijo Bu." Pero trabajando con Arthur y Zhengwei, hemos podido utilizar este lenguaje pictórico para derivar nuevas ideas y herramientas geométricas que podemos utilizar para desarrollar nuevos protocolos cuánticos. Ya han sido útiles, y prevemos que estas ideas podrían tener amplias aplicaciones en el futuro.

"Es asombroso, Creo, que podemos usar un lenguaje pictórico simple para describir ecuaciones de álgebra muy complicadas, "Bu continuó." Creo que esto no es solo un nuevo enfoque, sino un nuevo campo para las matemáticas ".

Ocneanu intervino, "En última instancia, lo que hace el lenguaje de imágenes de dimensiones superiores es traducir la estructura del espacio en matemáticas de una manera natural".

Mientras que tradicional, el álgebra lineal aplana los conceptos tridimensionales en una sola línea de ecuaciones, él dijo, el lenguaje de imágenes permite a los científicos utilizar espacios tridimensionales y de dimensiones superiores para traducir el mundo que los rodea.

"Espacio, o más generalmente espacio-tiempo, es una especie de máquina computacional, ", dijo Ocneanu." Realmente deberíamos traducir lo que está haciendo el espacio en el tipo de cosas que usan los matemáticos, para que podamos leer la estructura del espacio ".

Para Norledge, El nuevo lenguaje matemático es sorprendente por la forma en que se construye a partir de un puñado de conceptos relativamente simples en una teoría compleja.

"Mi experiencia es en teoría de la representación; mi tesis está en esta área de las matemáticas llamada teoría de grupos geométricos, ", dijo." Así que, con un trasfondo de uso de imágenes y objetos geométricos, ayuda a aplicar las matemáticas de esta manera. Todavía estamos tratando de darnos cuenta de esto pero si todo esto pasa y tiene éxito, tienes un área muy hermosa de las matemáticas donde comienzas con solo unos pocos axiomas, y sólo desde ese principio se puede generalizar esta teoría nada trivial con esta hermosa estructura ".

"Esperamos que eventualmente se puedan implementar las ideas que estamos estudiando en nuevos modelos teórico-físicos, así como en algunos términos prácticos, "Dijo Jaffe." Para compartir nuestra emoción, Eche un vistazo a nuestro sitio web ".