Una distribución binomial describe una variable X si 1) hay un número fijo n observaciones de la variable; 2) todas las observaciones son independientes entre sí; 3) la probabilidad de éxito p es la misma para cada observación; y 4) cada observación representa uno de exactamente dos posibles resultados (de ahí la palabra "binomio" - piense "binario"). Esta última calificación distingue las distribuciones binomiales de las distribuciones de Poisson, que varían continuamente en lugar de discretamente.

Dicha distribución se puede escribir B (n, p).
Cálculo de la probabilidad de una observación dada

Digamos que un valor k se encuentra en algún lugar a lo largo de la gráfica de la distribución binomial, que es simétrica respecto de la media np. Para calcular la probabilidad de que una observación tenga este valor, esta ecuación debe resolverse:

P (X \u003d k) \u003d (n: k) p ^{k (1-p) ( nk)}

donde (n: k) \u003d (n!) ÷ (k!) (n - k)!

El "!" significa una función factorial, por ejemplo, 27! \u003d 27 x 26 x 25 x ... x 3 x 2 x 1.
Ejemplo

Digamos que un jugador de baloncesto realiza 24 tiros libres y tiene una tasa de éxito establecida del 75 por ciento (p \u003d 0.75). ¿Cuáles son las posibilidades de que golpee exactamente 20 de sus 24 tiros?

Primero calcule (n: k) de la siguiente manera:

(n!) ÷ (k!) (N - k) ! \u003d 24! ÷ (20!) (4!) \u003d 10,626

p ^{k \u003d (0.75) 20 \u003d 0.00317}

(1-p) ^{(nk) \u003d (0.25) 4 \u003d 0.00390}

Por lo tanto P (20) \u003d (10,626) (0.00317) (0.00390) \u003d 0.1314.

Por lo tanto, este jugador tiene un 13.1 por ciento de posibilidades de ganar exactamente 20 de 24 tiros libres, en línea con lo que la intuición podría sugerir sobre un jugador que generalmente golpearía 18 de 24 tiros libres (debido a su tasa de éxito establecida del 75 por ciento).