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Cuando te sumerges por primera vez en la trigonometría, encontrarás un poderoso conjunto de herramientas llamadas identidades de medio ángulo. Estas fórmulas te permiten traducir expresiones trigonométricas que involucran θ /2 en expresiones que usan el ángulo más familiar θ . En la práctica, te ayudan a simplificar una expresión o calcular el valor exacto de una función trigonométrica cuando el argumento es la mitad de un ángulo conocido.

Identidades centrales de medio ángulo

A continuación se muestran las identidades principales que necesitará. Si bien muchos textos los presentan de una sola forma, cada uno se puede transformar algebraicamente en varias variaciones útiles.

Identidad de medio ángulo para seno

\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)

Identidad de medio ángulo para el coseno

\(\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}\)

Identidades de medio ángulo para tangente

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 + \cosθ}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 – \cosθ}{\sinθ}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ – \cotθ\)

Identidades de medio ángulo para cotangente

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 – \cosθ}}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 – \cosθ}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 + \cosθ}{\sinθ}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ + \cotθ\)

Ejemplo práctico:calcular sen15°

Veamos cómo aplicar estas identidades para encontrar el valor exacto de sin15° , un ángulo que no forma parte de la familia estándar de 30°, 45° o 60°.

1. Expresa el ángulo como la mitad de un valor conocido

Establecer θ /2 =15°, dando θ =30°. Como 30° es un ángulo familiar, podemos usar la identidad del semiángulo del seno.

2. Seleccione la fórmula adecuada

Porque necesitamos el pecado , usamos:\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)

3. Resuelve el signo ±

El signo depende del cuadrante. Aquí θ =30° se encuentra en el Cuadrante I, donde el seno es positivo, por lo que descartamos la opción negativa.

4. Sustituir valores conocidos

Reemplazar cos30° con su valor exacto \(\sqrt{3}/2\) :\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{1 – \sqrt{3}/2}{2}}\)

5. Simplificar

Multiplica el numerador y el denominador dentro de la raíz por 2 para borrar la fracción:\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2(1 – \sqrt{3}/2)}{4}}\)

Lo que se simplifica a:\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2 – \sqrt{3}}{4}}\)

Finalmente, factoriza la raíz cuadrada de 4:\(\sin(15°) =\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\)

Por lo tanto, el valor exacto de sen15° es \(\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\) .

Referencia rápida de cuadrante para la determinación de signos

• CuadranteI:todas las funciones son positivas.
• Cuadrante II:el seno y la cosecante son positivos.
• Cuadrante III:la tangente y la cotangente son positivas.
• Cuadrante IV:coseno y secante son positivos.

Si sigue estos pasos, podrá aplicar con confianza identidades de medios ángulos a cualquier problema trigonométrico, ya sea que esté simplificando una expresión o encontrando un valor exacto.