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Cuando se necesita un vector que sea perpendicular a uno determinado, las técnicas de producto escalar y producto cruzado proporcionan métodos claros y confiables. Un producto escalar cero indica ortogonalidad, mientras que el producto cruzado de dos vectores no paralelos produce un vector que es perpendicular a ambos.
Suponga un vector desconocido V =(v1 , v2 ). Este vector será perpendicular al vector conocido U =(u1 , u2 ).
Calcule el producto escalar:V · U =u1 v1 + u2 v2 . Por ejemplo, si U =(–3, 10), entonces V · U =–3v1 + 10v2 .
Establezca el producto escalar en cero y resuelva para un componente:–3v1 + 10v2 =0 ⇒ v2 =(3/10)v1 .
Seleccione cualquier valor para v1; por ejemplo, sea v1 =1.
Calcular v2 =0,3. Así V =(1, 0.3) es perpendicular a U =(–3, 10). Eligiendo v1 =–1 da V ′ =(–1, –0,3), la dirección opuesta. Cualquier múltiplo escalar de cualquiera de los vectores permanece perpendicular y la normalización a la unidad de longitud produce W =V / √(1² + 0,3²) =(1/√10, 0,3/√10).
Definir un vector desconocido V =(v1 , v2 , v3 ).
Calcule el producto escalar con un vector conocido U =(10, 4, –1):V · U =10v1 + 4v2 –v3 .
Establezca el producto escalar en cero, obteniendo la ecuación plana 10v1 + 4v2 –v3 =0. Cualquier vector que satisfaga esta relación es perpendicular a U .
Elija valores convenientes, por ejemplo, v1 =1 y v2 =1, luego resuelve para v3 =10 + 4 =14. Esto da V =(1, 1, 14).
Verificar ortogonalidad:V · U =10(1) + 4(1) – 14 =0. Por lo tanto V es de hecho perpendicular a U .
Seleccione cualquier vector que no sea paralelo a U . Una opción conveniente es un vector base, como X =(1, 0, 0).
Calcular el producto cruzado:W =X × U =(0, 1, 4) cuando U =(10, 4, –1).
Confirmar perpendicularidad:W · U =0·10 + 1·4 + 4·(–1) =0. El uso de diferentes vectores no paralelos como (0, 1, 0) o (0, 0, 1) producirá otros vectores perpendiculares, todos ubicados en el plano definido por 10v1 + 4v2 –v3 =0.
