En matemáticas, las ecuaciones simples pueden generar una evolución compleja en el tiempo y patrones intrigantes en el espacio. Un ejemplo famoso de esto es el conjunto de Mandelbrot, nombrado en honor al matemático franco-estadounidense de origen polaco, Benoit B. Mandelbrot (1924-2010), el fractal más estudiado. Este conjunto se basa en una única ecuación cuadrática con un solo parámetro y una variable. Los fascinantes patrones fractales del conjunto de Mandelbrot han atraído la atención más allá de las matemáticas.

Un artículo de Ralph Andrzejak, titulado "Quimeras confinadas por límites fractales en el plano complejo, "forma parte de una edición especial de la revista Caos en memoria del profesor ruso Vadim S. Anishchenko, (1943-2020), publicado el 3 de mayo de 2021. Andrzejak es responsable del Grupo de Análisis de Series Temporales No Lineales del Departamento de Tecnologías de la Información y las Comunicaciones de la UPF (DTIC). El trabajo generaliza el conjunto de Mandelbrot para cuatro ecuaciones cuadráticas. La figura que se muestra arriba es un ejemplo de los patrones generados a través de este enfoque.

Un viaje a través de muchos órdenes de magnitud.

Andrzejak señala que "la complejidad de los patrones fractales se puede ver cuando nos acercamos a detalles cada vez más pequeños, "que el autor ilustra en la imagen siguiente. Explica la imagen diciendo que" globalmente, el patrón que se muestra en el panel superior izquierdo de la figura se asemeja al conjunto clásico de Mandelbrot. Sin embargo, tan pronto como inspeccionemos los detalles, podemos ver patrones que no se pueden encontrar en el conjunto de Mandelbrot. Para ver mejor estos detalles, ampliamos el cuadrado para producir el siguiente panel ".

"Zoom iterativo en patrones fractales. De izquierda a derecha y de arriba a abajo, los paneles posteriores magnifican los cuadrados de los paneles anteriores correspondientes. La primera figura de arriba aparece de nuevo, aquí como el quinto paso en la ampliación.

El autor utiliza una comparación para enfatizar que estos patrones son de hecho en muchos órdenes de magnitud. Afirma que "el zoom aplicado a los doce paneles que componen la imagen corresponde a hacer estallar un átomo del tamaño de un todoterreno". "A medida que nos acercamos, aumentando el tamaño de la imagen, vemos que hay una rica variedad de formas y formas estéticamente intrigantes. Los patrones que hemos descubierto pueden parecer menos filigrana y menos ordenados, pero pueden ser más variadas que las que se encuentran en el conjunto de Mandelbrot ".

Interacción de fractales y sincronización

Pero hay más que patrones fractales para abordar la propuesta de Andrzejak. Como el autor usa cuatro ecuaciones en lugar de una, también ha podido estudiar la sincronización dentro de estos patrones fractales. Como podemos entender esto? Andrzejak explica diciendo "el conjunto de Mandelbrot se basa en una ecuación con un parámetro y una variable. Podemos imaginar esta variable como una pequeña bola moviéndose sobre la superficie de una gran mesa redonda. Lo que le sucede a esta bola depende del parámetro de la ecuación. Para algunos valores de este parámetro, la bola se mueve y siempre está sobre la mesa. El conjunto de todos estos valores de parámetros para los que la bola permanece en la mesa es lo que define el conjunto de Mandelbrot. De lo contrario, para los valores restantes de los parámetros, la bola cae de la mesa en algún momento ".

Andrzejak continúa diciendo que "uno podría pensar que las cuatro ecuaciones que estamos usando describen el movimiento de no solo una, pero cuatro bolas en la superficie de la mesa. Dado que las ecuaciones están conectadas, las bolas no pueden moverse libremente. Sin embargo, se atraen, como el sol, La Tierra y la Luna se atraen mediante la gravedad ". El investigador agrega que" como resultado de esta atracción, las cuatro bolas pueden mostrar varias formas de sincronización. Los dos extremos son:Las cuatro bolas se mueven juntas a lo largo de los mismos caminos o cada bola sigue su propio camino ". Andrzejak luego enfatiza que" lo más importante, más allá de estos extremos, está encontrando la llamada sincronización parcial. Por ejemplo, dos bolas pueden moverse en sincronía juntas, mientras que las otras dos bolas permanecen desincronizadas de este movimiento. Este estado particular de sincronización parcial se llama estado de quimera, "de ahí el título del artículo.

Un asunto de gran importancia para la dinámica del mundo real

Si nos preguntamos si el modelo matemático en cuestión puede ser relevante para la dinámica del mundo real, Andrzejak responde "Sí. Absolutamente. El mejor ejemplo es el cerebro. Si todas nuestras neuronas se sincronizaron o se desincronizaron, nuestro cerebro ya no podía hacer su trabajo. Nuestro cerebro solo puede funcionar correctamente si algunas neuronas se sincronizan mientras que otras permanecen desincronizadas. La sincronización parcial es fundamental para que el cerebro funcione correctamente ". El autor relaciona esto con su trabajo diciendo:" demostramos cómo es posible establecer una sincronización parcial en un modelo muy simple y, es más, mostramos cómo esta sincronización parcial está confinada dentro de los límites fractales a través de la sincronización y desincronización total ". El autor concluye:" Si estudiamos los mecanismos básicos de sincronización parcial en modelos muy simples, esto puede ayudar a comprender cómo se establece y cómo se puede mantener estable en sistemas tan complejos como el cerebro humano ".