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Un número racional se puede expresar como una fracción p /q donde ambos p y q son números enteros y q ≠ 0. Para restar dos números racionales, deben tener un denominador común. El mismo principio se aplica a las expresiones racionales (fracciones polinómicas) donde el objetivo es factorizar cada término a su forma más simple antes de encontrar un denominador común.
Empecemos con dos números racionales genéricos:p /q y x /y . Para calcular p /q −x /y , multiplica la primera fracción por y /y y el segundo por q /q (ambos son iguales a 1). Esto produce:
\(\frac{p}{q} - \frac{x}{y} =\frac{py}{qy} - \frac{qx}{qy} =\frac{py - qx}{qy}\)
El denominador qy es el mínimo común denominador (LCD). El uso de la pantalla LCD garantiza un resultado correcto y simplifica la expresión.
Escribe la resta como \(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\) . La pantalla LCD es 12:
\(\frac{4}{12} - \frac{3}{12} =\frac{1}{12}\)
Expresar las fracciones con factor común 8:
\(\frac{7}{8\times3} \text{ y } \frac{3}{8\times2}\)
Después del ajuste, la pantalla LCD es 48:
\(\frac{7}{24} - \frac{3}{16} =\frac{14 - 9}{48} =\frac{5}{48}\)
Cuando trabajes con expresiones racionales, factoriza tanto el numerador como el denominador de cada término. Cancela cualquier factor común antes de combinar fracciones. Esto reduce la complejidad de la pantalla LCD y mantiene el álgebra manejable.
Por ejemplo:
\(\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9x + 20} =\frac{(x-4)(x+2)}{(x-5)(x-4)} =\frac{x+2}{x-5}\)
Realiza la siguiente resta:
\(\frac{2x}{x^2 - 9} - \frac{1}{x + 3}\)
Factoriza la cuadrática en el primer denominador:
\(x^2 - 9 =(x+3)(x-3)\)
Reescribe la expresión:
\(\frac{2x}{(x+3)(x-3)} - \frac{1}{x+3}\)
La pantalla LCD es (x+3)(x-3) . Multiplica la segunda fracción por (x-3)/(x-3) :
\(\frac{2x - (x-3)}{(x+3)(x-3)} =\frac{x+3}{x^2-9}\)
Después de la simplificación, el resultado es \(\frac{x+3}{x^2-9}\) .
