Por Chris Deziel, actualizado el 30 de agosto de 2022
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Los logaritmos pueden convertir un problema algebraico que de otro modo sería sencillo en uno complicado. A menudo se los considera tediosos, difíciles de manipular y algo misteriosos. La buena noticia es que eliminarlos de una ecuación es sencillo una vez que recuerdas que un logaritmo es simplemente el inverso de un exponente.
Si bien la base de un logaritmo puede ser cualquier número positivo, las bases más comunes en ciencia son 10 y el número de Euler e . En matemáticas, "log" denota un logaritmo de base 10 y "ln" denota un logaritmo natural de base e .
Para eliminar logaritmos, eleva ambos lados de la ecuación a la misma potencia que la base del logaritmo. Si la ecuación contiene varios logaritmos, muévalos todos a un lado y simplifique primero.
Un logaritmo responde a la pregunta "¿a qué potencia se debe elevar la base para producir un número determinado?" En otras palabras, el logaritmo de un número es el exponente necesario para obtener ese número a partir de la base. Por ejemplo, \(\log_8 2 =6\) significa que 8 2 =64 . En la notación común \(\log x =100\) , se entiende que la base es 10, por lo que la pregunta pasa a ser “¿10 elevado a qué potencia es igual a 100?” La respuesta es 2, porque 10 2 =100 .
Debido a que un logaritmo es la operación inversa de la exponenciación, las ecuaciones que contienen logaritmos a menudo se pueden “desenredar” aplicando el exponente apropiado a ambos lados. Esto funciona siempre que todos los logaritmos involucrados compartan la misma base.
Logaritmo simple
\(\log x =y\)
Eleve ambos lados a la potencia de 10:\(10^{\log x} =10^y\) . Dado que 10^{\log x} =x , obtenemos \(x =10^y\) .
Todos los términos son logaritmos
\(\log (x^2 - 1) =\log (x + 1)\)
Exponenciar ambos lados con base 10:\(x^2 - 1 =x + 1\) . Simplifique para obtener \(x^2 - x - 2 =0\) , cuyas soluciones son \(x =-2\) o \(x =1\) .
Logaritmos mixtos y términos algebraicos
Siga estos pasos:
1. Comience con la ecuación, por ejemplo:\(\log x =\log (x - 2) + 3\) .
2. Mueva todos los logaritmos a un lado:\(\log x - \log (x - 2) =3\) .
3. Aplique las leyes de los logaritmos:\(\log \left(\frac{x}{x-2}\right) =3\) .
4. Exponencia ambos lados con base 10:\(\frac{x}{x-2} =10^3\) .
5. Resuelva para x :\(x =1000x - 2000 \Rightarrow -999x =-2000 \Rightarrow x =\frac{2000}{999} \aprox 2,002\) .
Al aplicar sistemáticamente estas reglas, puedes eliminar los logaritmos de casi cualquier ecuación algebraica.
