Por Chirantan Basu | Actualizado el 30 de agosto de 2022
La ecuación de un plano en el espacio tridimensional se puede expresar como ax + by + cz = d , donde al menos una de las constantes a , b , o c es distinto de cero. Cuando se conocen tres puntos, el plano se puede derivar utilizando productos cruzados vectoriales, una técnica geométrica confiable que garantiza una solución exacta.
Etiquete los puntos A, B y C. A modo de ilustración, sean A = (3, 1, 1), B = (1, 4, 2) y C = (1, 3, 4).
Elija dos vectores cualesquiera que se encuentren en el plano. Una opción conveniente es AB y AC :
AB = B – A = (1–3, 4–1, 2–1) = (–2, 3, 1)AC = C – A = (1–3, 3–1, 4–1) = (–2, 2, 3)
El producto cruzado de AB y AC produce un vector normal al plano:
AB × AC = (a₂b₃ – a₃b₂, a₃b₁ – a₁b₃, a₁b₂ – a₂b₁)
Sustituyendo las coordenadas se obtiene:
AB × AC = (3·3 – 1·2, 1·(–2) – (–2)·3, (–2)·2 – 3·(–2)) = (7, 4, 2)
Por tanto, el vector normal N es (7, 4, 2) .
Usando el punto C (o cualquier punto conocido) y el vector normal, la ecuación del plano es:
7(x – 1) + 4(y – 3) + 2(z – 4) = 0
Ampliando y simplificando se obtiene la forma estándar:
7x + 4y + 2z = 27
Sustituye cada uno de los puntos originales en la ecuación para confirmar que la satisfacen. Los tres puntos satisfacen 7x + 4y + 2z = 27 , validando el cálculo.
Utilice productos cruzados vectoriales para encontrar el vector normal de un avión, luego conecte cualquier punto en la forma del producto escalar para obtener la ecuación del avión.
