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El radianes es la unidad fundamental para medir ángulos en matemáticas y física. Se define por la geometría de un círculo:si se toma un arco cuya longitud es igual al radio del círculo, el ángulo subtendido en el centro por ese arco es un radian. Esta definición vincula la unidad directamente con la forma del círculo, haciéndolo más "natural" para muchas fórmulas matemáticas.
Un radian es una unidad de ángulo basada en el radio del círculo, lo que simplifica muchas ecuaciones avanzadas en matemáticas y física.
Los grados son la forma cotidiana de expresar ángulos:360° en un círculo completo, 180° en un triángulo, 90° en un ángulo recto. Los radianes, sin embargo, provienen de la propia geometría del círculo:un círculo completo mide 2π radianes, un triángulo mide π radianes y un ángulo recto mide π/2 radianes. Aunque π es irracional, los radianes agilizan los cálculos que de otro modo implicarían multiplicadores de π.
Para aritmética y trigonometría básicas, los grados son convenientes porque rara vez se necesitan fracciones de π. En cálculo, los radianes se vuelven esenciales. La serie de potencias para el seno, por ejemplo, es mucho más limpia en radianes:
\(\sin(x) =x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\)
En grados, la misma serie requeriría insertar repetidamente \(\frac{\pi x}{180}\), aumentando tanto la longitud como la posibilidad de error. Debido a que los radianes se derivan directamente de la geometría del círculo, naturalmente se ajustan al comportamiento de las funciones trigonométricas en cálculo.
En cálculo, la derivada de \(\sin(x)\) es simplemente \(\cos(x)\) cuando x está en radianes. En grados, la derivada incluiría un factor adicional de \(\frac{\pi}{180}\). En física, la velocidad angular a menudo se escribe como \(\omega\) y se mide en radianes por segundo; por ejemplo, una rotación completa por segundo equivale a \(2\pi\) rad/s. De este modo, los radianes reducen el desorden tanto en las fórmulas como en la notación.
Para convertir un ángulo de grados a radianes, multiplica por \(\pi\) y divide por 180. Por ejemplo, 360° × \(\pi\) ÷ 180 =2\pi rad. Por el contrario, para convertir de radianes a grados, multiplica por 180 y divide por \(\pi\). Entonces \(\frac{\pi}{2}\) rad × 180 ÷ \(\pi\) =90°.
