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El álgebra frecuentemente requiere la simplificación de expresiones y números complejos (aquellos que contienen la unidad imaginaria i). (definido por i ² =–1)—puede parecer intimidante a primera vista. Sin embargo, una vez que domines las reglas fundamentales, manejar números complejos es sencillo y confiable.
Siga reglas algebraicas básicas (suma, resta, multiplicación y división) cuando trabaje con números complejos para simplificar cualquier expresión.
Los números complejos amplían el sistema de números reales incorporando la unidad imaginaria i , la raíz cuadrada de –1. Cualquier número complejo se puede escribir en la forma estándar:
\(z =a + bi\)
Aquí, un es la parte real y b es la parte imaginaria, cada una de las cuales puede ser positiva o negativa. Por ejemplo, z =2 – 4i demuestra la estructura. De hecho, los números reales ordinarios son simplemente números complejos con b =0, por lo que el sistema de números complejos es una extensión natural de todos los números.
Suma y resta
Al sumar o restar números complejos, combine las partes reales y las imaginarias por separado. Por ejemplo, con z =2 – 4i y w =3 + 5yo :
\(\begin{aligned} z + w &=(2 – 4i) + (3 + 5i)\\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i\\ &=5 + i\end{aligned}\)
La resta sigue el mismo principio:
\(\begin{aligned} z - w &=(2 – 4i) – (3 + 5i)\\ &=(2 – 3) + (-4 – 5)i\\ &=-1 - 9i\end{aligned}\)
Multiplicación
La multiplicación es análoga al álgebra ordinaria, pero debes recordar que i ² =–1. Para dos números imaginarios simples, 3i × –4yo :
\(3i \times -4i =-12i^2 =-12(-1) =12\)
Con números complejos completos, utilice el método FOIL:
\(\begin{aligned} z \times w &=(2 - 4i)(3 + 5i)\\ &=(2 \times 3) + (-4i \times 3) + (2 \times 5i) + (-4i \times 5i)\\ &=6 - 12i + 10i - 20i^2\\ &=6 - 2i + 20\\ &=26 + 2i\end{aligned}\)
División
Para dividir números complejos, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un número complejo z =a + bi es z* =a – bi. Por ejemplo:
\(\frac{z}{w} =\frac{2 - 4i}{3 + 5i}\)
Multiplicar por el conjugado del denominador (3 – 5i ):
\(\frac{z}{w} =\frac{(2 - 4i)(3 - 5i)}{(3 + 5i)(3 - 5i)}\)
Calcula el numerador y el denominador por separado:
\(\begin{aligned} (2 - 4i)(3 - 5i) &=6 - 12i - 10i + 20i^2 \newline &=-14 - 22i \newline (3 + 5i)(3 - 5i) &=9 + 15i - 15i - 25i^2 \newline &=34\end{aligned}\)
Así:
\(\frac{z}{w} =\frac{-14 - 22i}{34} =-\frac{7}{17} - \frac{11}{17}i\)
Aplique las reglas anteriores para reducir cualquier expresión compleja. Considere el ejemplo:
\(z =\frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2 + i)}\)
Primero simplifica el numerador:
\((4 + 2i) + (2 - i) =6 + i\)
Entonces el denominador:
\(\begin{aligned} (2 + 2i)(2 + i) &=4 + 4i + 2i + 2i^2 \newline &=(4 - 2) + 6i \newline &=2 + 6i\end{aligned}\)
La fracción se convierte en:
\(z =\frac{6 + i}{2 + 6i}\)
Multiply numerator and denominator by the conjugate of the denominator (2 – 6i ):
\(\begin{alineado} z &=\frac{(6 + i)(2 - 6i)}{(2 + 6i)(2 - 6i)} \newline &=\frac{12 + 2i - 36i - 6i^2}{4 + 12i - 12i - 36i^2} \newline &=\frac{18 - 34i}{40} \newline &=\frac{9}{20} - \frac{17}{20}i\end{aligned}\)
Entonces la forma simplificada es:
\(z =\frac{9}{20} - \frac{17}{20}i\)
