Un matemático de la Universidad RUDN ha propuesto un nuevo esquema para resolver numéricamente ecuaciones con potencias fraccionarias de operadores elípticos. El nuevo esquema funciona más rápido que los existentes, porque tiene en cuenta las propiedades de las soluciones de tales ecuaciones en puntos singulares. Los resultados podrían ser útiles para calcular los procesos de difusión, por ejemplo, fuga de fluido en un medio poroso, transferencia de nutrientes a través de una pared celular, y roturas en materiales elásticos. El estudio fue publicado en Computadoras y matemáticas con aplicaciones .

La ecuación de difusión clásica es una ecuación diferencial parcial. Describe el proceso de distribución de una sustancia en un entorno determinado. La solución de la ecuación es una función del tiempo t y el punto x, que muestra la concentración u (t, x) de la sustancia en el punto x en el tiempo t. Si el medio es homogéneo, entonces la ecuación de difusión contiene la primera derivada con respecto a t de u y la suma de las segundas derivadas de u con respecto a las coordenadas. La suma se llama operador de Laplace, y se utiliza en varios campos de las matemáticas y la física, incluyendo la teoría de funciones complejas y la ecuación de Schrödinger.

El matemático Petr Vabishchevich, un empleado del Centro Científico de Métodos Computacionales en Matemáticas Aplicadas de la Universidad RUDN, y su colega Raimondas Ciegis, Prof. de Matemáticas en la Universidad Técnica Vilnius Gediminas, Vilna, Lituania, considerada una variante de la ecuación de difusión fraccional en la que el operador de Laplace se toma en un grado fraccional. El grado está determinado por la fórmula, que es conveniente desde un punto de vista teórico, pero completamente inadecuado para los cálculos. Mientras tanto, Los cálculos prácticos relacionados con las soluciones son una tarea importante para las aplicaciones.

Si es difícil resolver una ecuación en forma general, los matemáticos usan métodos numéricos. Hay varios de ellos que se utilizan tradicionalmente para la ecuación de difusión fraccionada. Por ejemplo, uno de ellos asume que la solución se reduce a las soluciones secuenciales a varios sistemas llamados locales. Estos sistemas tienen la propiedad de elipticidad, es decir, tales ecuaciones se asemejan a las ecuaciones de difusión sin un grado fraccionario. Estos sistemas están bien resueltos numéricamente. Sin embargo, cuando la solución aproximada al problema original en su conjunto necesita ser "ensamblada" a partir de las soluciones obtenidas, las piezas no siempre "encajan" bien; la solución obtenida a veces se aproxima con precisión a la solución al problema original, ya veces difiere mucho.

Petr Vabishchevich y su colega eligieron otro camino, reduciendo la solución a la ecuación de difusión fraccionada a varios sistemas locales. Los sistemas resultantes no poseían la propiedad de elipticidad y eran aún peores, en un sentido. Es más, el sistema incluía funciones con discontinuidades, lo que generalmente significa baja capacidad de solución para problemas numéricos. Pero en este caso particular, Resultó que la elección correcta del intervalo de tiempo para el cálculo, junto con una buena elección del propio sistema, permite obtener una solución numérica que aproxima con bastante precisión la solución al problema original.

Es más, parece que el método propuesto por los matemáticos de la Universidad de la RUDN a menudo funciona más rápido que sus contrapartes. Esto se debe a que la transición a una solución aproximada se produce en el último paso del nuevo esquema. En otros métodos, la aproximación ocurre en varias etapas, lo que conduce a la acumulación de errores de cálculo. Esto no ocurre con el nuevo método.

Las ecuaciones de difusión fraccionada describen la llamada difusión anómala, p.ej., la distribución de un líquido en un medio poroso con discontinuidades. Además, La difusión fraccionada describe la transferencia de nutrientes dentro de una célula y en los tejidos en general. Estas ecuaciones en forma general no se pueden resolver, por lo tanto, los científicos usan aproximaciones numéricas, es decir, soluciones aproximadas. El nuevo método de los matemáticos de la Universidad RUDN permitirá realizar cálculos más rápidamente en muchos casos.