En matemáticas, una función es una regla que relaciona cada elemento de un conjunto, llamado dominio, con exactamente un elemento de otro conjunto, llamado rango. En un eje x-y, el dominio se representa en el eje x (eje horizontal) y el dominio en el eje y (eje vertical). Una regla que relaciona un elemento en el dominio con más de un elemento en el rango no es una función. Este requisito significa que, si grafica una función, no puede encontrar una línea vertical que cruce la gráfica en más de un lugar.

TL; DR (demasiado largo; no leído)

Una relación es una función solo si relaciona cada elemento en su dominio con solo un elemento en el rango. Cuando grafica una función, una línea vertical la intersecará en un solo punto.
Representación matemática

Los matemáticos generalmente representan funciones con las letras "f (x)", aunque cualquier otra letra funciona igual de bien . Lees las letras como "f de x". Si elige representar la función como g (y), la leería como "g de y". La ecuación para la función define la regla por la cual el valor de entrada x se transforma en otro número. Hay infinitas formas de hacer esto. Aquí hay tres ejemplos:

f (x) \u003d 2x

g (y) \u003d y ^{2 + 2y + 1}

p (m) \u003d 1 /√ (m - 3)
Determinación del dominio

El conjunto de números para los que la función "funciona" es el dominio. Esto puede ser todos los números, o puede ser un conjunto específico de números. El dominio también puede ser todos los números, excepto uno o dos para los que la función no funciona. Por ejemplo, el dominio para la función f (x) \u003d 1 /(2-x) es todos los números excepto 2, porque cuando ingresa dos, el denominador es 0 y el resultado no está definido. El dominio para 1 /(4 - x ^{2), por otro lado, es todos los números excepto +2 y -2 porque el cuadrado de ambos números es 4.}

También puede identificar el dominio de una función mirando su gráfica. Comenzando en el extremo izquierdo y moviéndose hacia la derecha, dibuje líneas verticales a través del eje x. El dominio son todos los valores de x para los cuales la línea se cruza con el gráfico.
¿Cuándo una relación no es una función?

Por definición, una función relaciona cada elemento en el dominio con solo un elemento en el rango. Esto significa que cada línea vertical que dibuje a través del eje x puede intersecar la función en un solo punto. Esto funciona para todas las ecuaciones lineales y ecuaciones de mayor potencia en las que solo el término x se eleva a un exponente. No siempre funciona para ecuaciones en las que los términos x e y se elevan a una potencia. Por ejemplo, x ^{2 + y 2 \u003d a 2 define un círculo. Una línea vertical puede intersecar un círculo en más de un punto, por lo que esta ecuación no es una función.}

En general, una relación f (x) \u003d y es una función solo si, para cada valor de x que si lo conectas, obtienes solo un valor para y. A veces, la única forma de saber si una relación dada es una función o no es probar varios valores para x para ver si producen valores únicos para y.

Ejemplos: ¿Las siguientes ecuaciones definen funciones?

y \u003d 2x +1 Esta es la ecuación de una línea recta con pendiente 2 e intersección en y 1, por lo que ES una función.

y2 \u003d x + 1 Sea x \u003d 3. El valor para y puede ser ± 2, entonces NO ES una función.

y ^{3 \u003d x 2 No importa qué valor establezcamos para x, obtendremos solo un valor para y, entonces esto ES una función.}

y ^{2 \u003d x 2 Debido a que y \u003d ± √x 2, esto NO ES una función.}