En matemáticas, un recíproco de un número es el número que, cuando se multiplica por el número original, produce 1. Por ejemplo, el recíproco para la variable x es 1 /x, porque x • 1 /x \u003d x /x \u003d 1. En este ejemplo, 1 /x es la identidad recíproca de x, y viceversa. En trigonometría, cualquiera de los ángulos que no son de 90 grados en un triángulo rectángulo puede definirse mediante relaciones llamadas seno, coseno y tangente. Aplicando el concepto de identidades recíprocas, los matemáticos definen tres razones más. Sus nombres son cosecante, secante y cotangente. Cosecante es la identidad recíproca del seno, secante la del coseno y cotangente la de la tangente.
Cómo determinar las identidades recíprocas
Considere un ángulo θ, que es uno de los dos ángulos no de 90 grados en Un triángulo rectángulo. Si la longitud del lado del triángulo opuesto al ángulo es "b", la longitud del lado adyacente al ángulo y opuesto a las hipotenusas es "a" y la longitud de la hipotenusa es "r", podemos definir los tres relaciones trigonométricas primarias en términos de estas longitudes.
La identidad recíproca de sin θ debe ser igual a 1 /sin θ, ya que ese es el número que, cuando se multiplica por sin θ, produce 1. Lo mismo es cierto para cos θ y tan θ. Los matemáticos dan a estos recíprocos los nombres cosecante, secante y cotangente, respectivamente. Por definición:
Puede definir estas identidades recíprocas en términos de la longitud de los lados del triángulo rectángulo de la siguiente manera:
< li> csc θ \u003d r /b
Las siguientes relaciones son verdaderas para cualquier ángulo θ:
Si conoce el seno y el coseno de un ángulo, puede derivar la tangente. Esto es cierto porque sen θ \u003d b /r y cos θ \u003d a /r, entonces sen θ /cos θ \u003d (b /r • r /a) \u003d b /a. Como esta es la definición de tan θ, la siguiente identidad, conocida como la identidad del cociente, es la siguiente:
La identidad pitagórica se deriva del hecho de que, para cualquier triángulo rectángulo con los lados a y by hipotenusa r, lo siguiente es cierto: a 2 + b 2 \u003d r 2. Reorganizando términos y definiendo relaciones en términos de seno y coseno, llega a la siguiente expresión: sin 2 θ + cos 2 θ \u003d 1 Otras dos relaciones importantes siga cuando inserte identidades recíprocas para seno y coseno en la expresión anterior:
