El álgebra a menudo implica simplificar expresiones, pero algunas expresiones son más confusas de tratar que otras. Los números complejos involucran la cantidad conocida como i
, un número "imaginario" con la propiedad i
\u003d √ − 1. Si tiene que simplemente una expresión que involucra un número complejo, puede parecer desalentador, pero es un proceso bastante simple una vez que aprende las reglas básicas.

TL; DR (demasiado largo; no leído)

Simplifique los números complejos siguiendo las reglas de álgebra con números complejos.
¿Qué es un número complejo?

Los números complejos se definen por su inclusión del término i
, cual es la raíz cuadrada de menos uno. En matemáticas de nivel básico, las raíces cuadradas de números negativos no existen realmente, pero ocasionalmente aparecen en problemas de álgebra. La forma general de un número complejo muestra su estructura:

z

\u003d a
+ bi

Donde z
etiqueta el número complejo, a
representa cualquier número (llamado parte "real") y b
representa otro número (llamado "imaginario" "Parte), que pueden ser positivas o negativas. Entonces, un número complejo de ejemplo es:

z

\u003d 2 −4_i_

Dado que todas las raíces cuadradas de números negativos se pueden representar por múltiplos de < em> i
, este es el formulario para todos los números complejos. Técnicamente, un número regular solo describe un caso especial de un número complejo donde b
\u003d 0, por lo que todos los números podrían considerarse complejos.
Reglas básicas para álgebra con números complejos

Para suma y resta números complejos, simplemente suma o resta las partes real e imaginaria por separado. Entonces, para números complejos z
\u003d 2 - 4_i_ y w
\u003d 3 + 5_i_, la suma es:

z

+ w
\u003d (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

\u003d (2 + 3) + (−4 + 5) i

\u003d 5 + 1_i_ \u003d 5 + i

Restar los números funciona de la misma manera:

z

- w
\u003d (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

\u003d (2 - 3) + (−4 - 5) i

\u003d −1 - 9_i_

La multiplicación es otra operación simple con números complejos, porque funciona como una multiplicación ordinaria, excepto que debe recordar que i
^{2 \u003d −1. Entonces, para calcular 3_i_ × −4_i_:}

3_i_ × −4_i_ \u003d −12_i_ ²

Pero desde i
^{2 \u003d −1, entonces:}

−12_i_ ^{2 \u003d −12 × −1 \u003d 12}

Con números complejos completos (usando z
\u003d 2 - 4_i_ y w
\u003d 3 + 5_i_ nuevamente), los multiplica de la misma manera que lo haría con números ordinarios como ( a
+ b
) ( c
+ d
), usando el método "primero, interno, externo, último" (FOIL), para dar ( a
+ b
) ( c
+ d
) \u003d ac
+ bc
+ anuncio
+ bd
. Todo lo que debe recordar es simplificar cualquier instancia de i
^{2. Entonces, por ejemplo:}

z

× w
\u003d (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

\u003d ( 2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

\u003d 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_ ²

\u003d 6 −2_i_ + 20 \u003d 26 + 2_i_
Dividir números complejos

Dividir números complejos implica multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado complejo del denominador. El conjugado complejo solo significa la versión del número complejo con la parte imaginaria invertida en signo. Entonces, para z
\u003d 2 - 4_i_, el complejo conjugado z
\u003d 2 + 4_i_, y para w
\u003d 3 + 5_i_, w

\u003d 3 −5_i_. Para el problema:

z

/ w
\u003d (2 - 4_i_) /(3 + 5_i_)

El el conjugado necesario es w
*. Divida el numerador y el denominador entre esto para obtener:

z

/ w
\u003d (2 - 4_i_) (3 −5_i_) /( 3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

Y luego trabajas como en la sección anterior. El numerador da:

(2 - 4_i_) (3 −5_i_) \u003d 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_ ²

\u003d −14 - 22_i_

Y el denominador da:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) \u003d 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_ ²

\u003d 9 + 25 \u003d 34

Esto significa:

z

/ w
\u003d (−14 - 22_i_) /34

\u003d −14/34 - 22_i_ /34

\u003d −7/17 - 11_i_ /17
Simplificando números complejos

Use las reglas anteriores según sea necesario para simplificar expresiones complejas. Por ejemplo:

z

\u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
)) ÷ ((2 + 2_i _) ( 2+ i
))

Esto se puede simplificar usando la regla de suma en el numerador, la regla de multiplicación en el denominador y luego completando la división. Para el numerador:

(4 + 2_i_) + (2 - i
) \u003d 6 + i

Para el denominador:

(2 + 2_i _) (2+ i
) \u003d 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_ ²

\u003d (4 - 2) + 6_i_

\u003d 2 + 6_i_

Al volver a colocarlos en su lugar se obtiene:

z

\u003d (6 + i
) /(2 + 6_i_)

Multiplicar ambas partes por el conjugado del denominador conduce a:

z

\u003d (6 + i
) (2 - 6_i_) /(2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

\u003d (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_ ^{2) /(4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_ < sup> 2)}

\u003d (18 - 34_i_) /40

\u003d (9 - 17_i_) /20

\u003d 9/20 −17_i_ /20

Entonces esto significa que z
se simplifica de la siguiente manera:

z

\u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ i
)) \u003d 9/20 −17_i_ /20