Un matemático de la Universidad RUDN (Rusia) y un colega han determinado las condiciones para la estabilización de desigualdades diferenciales que tienen un orden alto. Este resultado permitirá a los matemáticos obtener restricciones sobre las soluciones de ecuaciones que describen algunos procesos físicos, tales como procesos de difusión y procesos de convección. El artículo se publica en la revista Análisis asintótico .

El interés en las desigualdades diferenciales surge de una gran cantidad de problemas de modelado matemático en las ciencias naturales, así como en la resolución de problemas técnicos y físicos. A menudo es necesario definir varias funciones relacionadas con varias desigualdades diferenciales. Es necesario tener el mismo número de desigualdades para hacer esto. Si cada una de estas desigualdades es diferencial, es decir, tiene la forma de una relación que conecta funciones desconocidas y sus derivadas, este es un sistema de desigualdades diferenciales. Los sistemas de desigualdades diferenciales describen procesos físicos reales con cierto grado de precisión (por ejemplo, dispositivos que registran fenómenos físicos no son perfectos y tienen algunos errores). Puede resultar que un pequeño error en los datos iniciales provoque cambios significativos en la solución de la desigualdad. Por lo tanto, es importante establecer límites a las soluciones de ecuaciones diferenciales.

Andrey Shishkov de S.M. El Instituto de Matemáticas Nikol'skii de la Universidad RUDN y Andrej Kon'kov de la Universidad Estatal de Moscú obtuvieron el resultado, que generaliza la condición clásica de Keller-Osserman para ecuaciones diferenciales. El teorema de Keller-Osserman contiene condiciones para la ausencia de soluciones positivas para desigualdades elípticas no lineales de segundo orden. Este teorema sirve como base para los estudios de la ausencia de soluciones para ecuaciones y desigualdades. Es más, para operadores diferenciales de alto orden, todos los estudios previamente conocidos se limitaron al caso de no linealidad de potencia. El caso de no linealidad arbitraria se ha estudiado solo para operadores de segundo orden. Los matemáticos han investigado desigualdades diferenciales de órdenes superiores y su resultado se aplica a una amplia clase de problemas:ecuaciones de segundo y tercer orden.

Los resultados se pueden aplicar tanto a las desigualdades parabólicas como a las denominadas antiparabólicas. Las ecuaciones parabólicas están muy extendidas en física:incluyen ecuaciones que describen los procesos de convección, difusión y su caso particular:la ecuación de conducción de calor; el sistema de ecuaciones de Navier-Stokes que describe el movimiento de líquidos y gases es un sistema de ecuaciones parabólicas con restricciones divergentes.

Las preguntas fueron previamente estudiadas principalmente para operadores diferenciales de segundo orden, y el caso de los operadores de orden superior está mucho menos estudiado. Los matemáticos investigaron las desigualdades diferenciales de orden superior y obtuvieron suficientes condiciones de estabilización para las llamadas soluciones débiles de las desigualdades diferenciales. Al mismo tiempo, las condiciones iniciales no están estipuladas sobre las soluciones de la desigualdad diferencial estudiada. Los autores tampoco estipulan condiciones de elipticidad en los coeficientes del operador diferencial.