Los matemáticos de la Universidad RUDN han demostrado el teorema de continuación único para una solución unidimensional a un problema de difusión de orden fraccionario. Se utilizan tales ecuaciones, por ejemplo, resolver problemas de difusión de partículas en un medio poroso como la filtración de aguas subterráneas. Los resultados del trabajo de los matemáticos podrían conducir a un análisis más preciso de las soluciones y su simulación numérica. En el caso general, no existen tales teoremas de continuación para otras clases de ecuaciones similares. El artículo fue publicado en la revista Cálculo fraccional y análisis aplicado .

La ecuación de difusión es una ecuación diferencial parcial que describe la penetración de partículas en un medio. Su solución es una función tu de t y X , que da la densidad de las partículas en el punto X en el momento t . La ecuación de difusión unidimensional contiene derivadas de tu con respecto a t , así como derivados de tu con respecto a X y una segunda derivada de tu con respecto a X .

La ecuación unidimensional también se denomina ecuación de conducción de calor:la propagación de calor se puede considerar como una forma de difusión. En la ecuación de difusión fraccional unidimensional, la derivada de tu con respecto a t se reemplaza por la derivada fraccionaria de Caputo. Si la derivada es el límite de una razón, entonces la derivada fraccionaria de Caputo de un orden fraccionario a está determinada por la fórmula integral, donde para valores enteros a hay valores estándar de las derivadas. Para la ecuación de difusión unidimensional habitual, se puede probar un teorema de continuación [s]. [/ s] Establece que si la densidad y el flujo de partículas son cero en un punto límite durante un intervalo de tiempo, entonces no hay difusión en xyt bajo consideración. Incluso un estudiante de primer año puede comprender la prueba de esta declaración, sin embargo, hasta hace poco, Se desconocían resultados similares para la ecuación de difusión fraccionada.

El matemático de la Universidad RUDN Masahiro Yamamoto y sus colegas consideraron la ecuación de difusión fraccional unidimensional para un parámetro arbitrario a con un valor entre 0 y 1. Lograron demostrar que en el caso fraccional también hay un teorema de continuación, es más, en la misma formulación:si la densidad y el flujo de partículas son cero en un punto límite durante un intervalo de tiempo, entonces nada se difunde.

La idea de la demostración es la siguiente:los matemáticos toman una solución, mira cómo se comporta en una continuación, y luego obtenga una estimación integral para el aumento de esta solución, dependiendo del parámetro. De la estimación integral se deduce que la única solución satisfactoria es la solución cero. No se conocen estimaciones similares para ecuaciones similares con derivadas fraccionarias.

La ecuación de difusión fraccionada se aplica en varios campos de la física, matemáticas, y ciencias de la computación. Por ejemplo, esta ecuación describe la difusión de partículas en un medio poroso. Estas ecuaciones se han utilizado con éxito para describir el comportamiento de las emisiones contaminantes en las aguas subterráneas. Otra área de aplicación de tales ecuaciones es el procesamiento de imágenes.