El 20 de marzo El matemático estadounidense-canadiense Robert Langlands recibió el Premio Abel, celebrando el logro de toda una vida en matemáticas. La investigación de Langlands demostró cómo los conceptos de geometría, el álgebra y el análisis se pueden unir mediante un vínculo común con los números primos.

Cuando el Rey de Noruega entregue el premio a Langlands en mayo, honrará lo último en un 2, Esfuerzo de 300 años para comprender los números primos, posiblemente el conjunto de datos más grande y antiguo en matemáticas.

Como matemático dedicado a este "programa de Langlands, “Me fascina la historia de los números primos y cómo los avances recientes desentrañan sus secretos. ¿Por qué han cautivado a los matemáticos durante milenios?

Cómo encontrar números primos

Para estudiar primos, Los matemáticos filtran números enteros a través de una malla virtual tras otra hasta que solo quedan los números primos. Este proceso de tamizado produjo tablas de millones de primos en el siglo XIX. Permite a las computadoras actuales encontrar miles de millones de números primos en menos de un segundo. Pero la idea central del tamiz no ha cambiado en más de 2, 000 años.

"Un número primo es el que se mide solo con la unidad, "El matemático Euclides escribió en 300 a. C. Esto significa que los números primos no se pueden dividir uniformemente por ningún número más pequeño excepto 1. Por convención, los matemáticos no cuentan el 1 en sí mismo como un número primo.

Euclides demostró la infinitud de los números primos, continúan para siempre, pero la historia sugiere que fue Eratóstenes quien nos dio el tamiz para enumerar rápidamente los números primos.

Aquí está la idea del tamiz. Primero, filtrar múltiplos de 2, luego 3, luego 5, luego 7 - los primeros cuatro números primos. Si hace esto con todos los números del 2 al 100, solo quedarán los números primos.

Con ocho pasos de filtrado, se pueden aislar los números primos hasta 400. Con 168 pasos de filtrado, se pueden aislar los números primos hasta 1 millón. Ese es el poder del tamiz de Eratóstenes.

Mesas y tablas

Una figura temprana en la tabulación de números primos es John Pell, un matemático inglés que se dedicó a crear tablas de números útiles. Estaba motivado para resolver antiguos problemas aritméticos de Diophantos, pero también por una búsqueda personal para organizar verdades matemáticas. Gracias a sus esfuerzos, los números primos hasta 100, 000 se distribuyeron ampliamente a principios del siglo XVIII. Para 1800, los proyectos independientes habían tabulado los números primos hasta 1 millón.

Para automatizar los tediosos pasos de tamizado, un matemático alemán llamado Carl Friedrich Hindenburg usó deslizadores ajustables para estampar múltiplos en una página entera de una tabla a la vez. Otro enfoque de baja tecnología pero efectivo utilizó plantillas para localizar los múltiplos. A mediados del siglo XIX, El matemático Jakob Kulik se había embarcado en un ambicioso proyecto para encontrar todos los números primos hasta 100 millones.

Es posible que estos "macrodatos" del siglo XIX solo hayan servido como tabla de referencia, si Carl Friedrich Gauss no hubiera decidido analizar los números primos por sí mismos. Armado con una lista de números primos de hasta 3 millones, Gauss empezó a contarlos, uno "chiliad, "o grupo de 1000 unidades, a la vez. Contó los números primos hasta 1, 000, luego los primos entre 1, 000 y 2, 000, luego entre 2, 000 y 3, 000 y así sucesivamente.

Gauss descubrió que, mientras contaba más alto, los números primos se vuelven gradualmente menos frecuentes según una ley del "registro inverso". La ley de Gauss no muestra exactamente cuántos primos hay, pero da una estimación bastante buena. Por ejemplo, su ley predice 72 primos entre 1, 000, 000 y 1, 001, 000. El recuento correcto es 75 primos, alrededor de un 4 por ciento de error.

Un siglo después de las primeras exploraciones de Gauss, su ley se demostró en el "teorema de los números primos". El error porcentual se acerca a cero en rangos de primos cada vez más grandes. La hipótesis de Riemann, un problema de premios de un millón de dólares hoy, también describe cuán precisa es realmente la estimación de Gauss.

El teorema de los números primos y la hipótesis de Riemann atraen la atención y el dinero, pero ambos siguieron antes, análisis de datos menos glamoroso.

Misterios primarios modernos

Hoy dia, nuestros conjuntos de datos provienen de programas de computadora en lugar de plantillas cortadas a mano, pero los matemáticos todavía están encontrando nuevos patrones en números primos.

Excepto por 2 y 5, todos los números primos terminan en el dígito 1, 3, 7 o 9. En el siglo XIX, se comprobó que estos posibles últimos dígitos son igualmente frecuentes. En otras palabras, si miras los números primos hasta un millón, alrededor del 25 por ciento termina en 1, 25 por ciento termina en 3, 25 por ciento termina en 7, y el 25 por ciento termina en 9.

Hace unos pocos años, Los teóricos de los números de Stanford, Lemke Oliver y Kannan Soundararajan, fueron tomados con la guardia baja por peculiaridades en los dígitos finales de los números primos. Un experimento analizó el último dígito de un primo, así como el último dígito del siguiente primo. Por ejemplo, el siguiente primo después de 23 es 29:se ve un 3 y luego un 9 en sus últimos dígitos. ¿Ve uno 3 luego 9 más a menudo que 3 luego 7, entre los últimos dígitos de los números primos?

Los teóricos de números esperaban alguna variación, pero lo que encontraron superó con creces las expectativas. Las primas están separadas por diferentes espacios; por ejemplo, 23 está a seis números de 29. Pero los números primos 3-luego-9 como 23 y 29 son mucho más comunes que los primos 7-luego-3, a pesar de que ambos provienen de una brecha de seis.

Los matemáticos pronto encontraron una explicación plausible. Pero, cuando se trata del estudio de primos sucesivos, Los matemáticos se limitan (en su mayoría) al análisis de datos y la persuasión. Las pruebas, el estándar de oro de los matemáticos para explicar por qué las cosas son verdaderas, parecen estar a décadas de distancia.

Este artículo se publicó originalmente en The Conversation. Lea el artículo original.