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Mientras que el concepto de valores propios Puede parecer abstracto, pero es una herramienta indispensable para matemáticos, físicos e ingenieros que abordan sistemas complejos. Al identificar cómo ciertas transformaciones escalan vectores, los valores propios revelan propiedades intrínsecas de matrices y operadores.

¿Qué es una función propia?

Imagine una función, digamos, y =x² + 6x o y = —que, tras aplicar una determinada operación, pasa a ser simplemente la función original multiplicada por una constante. Esa función es una función propia , y la constante es su valor propio .

• "Eigen" proviene del alemán y significa "igual" o "idéntico".

Para calcular valores propios de forma eficaz, es esencial tener conocimientos sólidos de álgebra matricial. Estas técnicas sustentan muchas aplicaciones científicas, como la determinación del orden de los enlaces en moléculas como el NO₂, donde las funciones de onda electrónicas se comportan como funciones propias.

Comprensión de las matrices

Una matriz es una matriz rectangular de números dispuestos en filas y columnas. Comúnmente se describe por sus dimensiones, por ejemplo, una matriz de 2 por 3:

\(\begin{bmatriz}
3 y 0 y 4
1 y 3 y 5
\end{bmatrix}\)

Sólo se pueden sumar o multiplicar por elementos matrices con dimensiones idénticas. Una matriz también puede actuar sobre un vector:un vector de 1 por n. o n matriz -por-1:produce otro vector.

La ecuación del valor propio

Para una matriz cuadrada A (tamaño n ×n ), un vector distinto de cero v (tamaño n ×1), y un escalar λ , la relación\(\mathbf{A}\mathbf{v} =\lambda\mathbf{v}\)se cumple cuando λ es un valor propio de A . Aquí, A es una transformación lineal que, cuando se aplica a v , lo escala en λ .

Por qué son importantes los valores propios

En mecánica cuántica, el operador hamiltoniano \(\hat{H}\) describe la energía cinética y potencial de un sistema:\(\hat{H} =-\frac{\hbar}{2m}\nabla^2 + \hat{V}(x,y,z)\)

La ecuación de Schrödinger\(\hat{H}\psi(x,y,z) =E\psi(x,y,z)\)es un problema de valores propios donde los niveles de energía E son los valores propios. Estos valores determinan las propiedades observables de los átomos y las moléculas.

Encontrar valores propios paso a paso

Comenzando desde \(\mathbf{A}\mathbf{v} =\lambda\mathbf{v}\), reorganice a:\(\mathbf{A}\mathbf{v} - \lambda\mathbf{v} =0\)que se convierte en\(\bigl(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}\bigr)\mathbf{v} =0\).Para un vector distinto de cero v para existir, la matriz \(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}\) debe ser singular, lo que significa que su determinante es igual a cero:\(|\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}| =0\).Resolver esta ecuación característica produce los valores propios. Si bien resolver manualmente matrices grandes puede resultar laborioso, muchas herramientas computacionales manejan el álgebra de manera eficiente.

Por ejemplo, al multiplicar dos matrices de 2 por 2 A y B , cada elemento del producto se calcula tomando el producto escalar de la fila correspondiente de A con la columna de B . Si Un La primera fila es [13] y B La primera columna de es [25], el elemento resultante es (1×2)+(3×5)=15.

Calcular valores propios en línea

Nuestra calculadora matricial basada en la web le permite encontrar valores propios (y más) para matrices de prácticamente cualquier tamaño. Maneja entradas simbólicas y numéricas, lo que agiliza su flujo de trabajo, ya sea que se encuentre en un aula o en un laboratorio de investigación.

Siéntete libre de experimentar con diferentes matrices para ver cómo los valores propios revelan su estructura subyacente.