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¿Por qué factorizar sumas y diferencias de cubos?

Factorizar expresiones como a ³+b ³ o un ³−b ³ es más que un buen truco; convierte un cálculo potencialmente engorroso en un producto simple. Dominar estas identidades es esencial para el álgebra, la división polinomial y la simplificación de expresiones racionales.

Factorizar la suma de cubos

Considere el binomio x³ + 27 . Reconocer que 27 es 3³ , entonces podemos aplicar la identidad de suma de cubos:

1. Expresa ambos términos como cubos. x³ + 27 =x³ + 3³
2. Recordar la identidad. a³ + b³ =(a + b)(a² – ab + b²)
3. Sustituto. Reemplazo de un con x y b con 3 da:

   x³ + 3³ =(x + 3)(x² – 3x + 3²)

Por lo tanto x³ + 27 factoriza claramente en (x + 3)(x² – 3x + 9) .

Factorizar la diferencia de cubos

Para la expresión y³ – 125 , observe que 125 es 5³ . Aplicar la identidad de diferencia de cubos:

1. Identifica los cubos. y³ – 125 =y³ – 5³
2. Usa la identidad. a³ – b³ =(a – b)(a² + ab + b²)
3. Sustituto. Reemplazo de un con y y b con 5 rendimientos:

   y³ – 5³ =(y – 5)(y² + 5y + 5²)

Entonces y³ – 125 factores para (y – 5)(y² + 5y + 25) .

Aplicar las identidades

Estas factorizaciones simplifican operaciones algebraicas posteriores, como la división por un binomio, la resolución de ecuaciones polinómicas o la simplificación de expresiones racionales. Al reconocer y aplicar constantemente las identidades de suma y diferencia de cubos, ahorrará tiempo y reducirá errores en sus cálculos.