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En matemáticas, el recíproco de un número es el valor que, multiplicado por el original, da 1. Por ejemplo, el recíproco de la variable x es \frac{1}{x} porque x \times \frac{1}{x} =\frac{x}{x} =1 .
En trigonometría, los dos ángulos no rectos de un triángulo rectángulo se pueden expresar con las conocidas razones seno, coseno y tangente. Ampliando este concepto, los matemáticos definen las razones recíprocas:cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot). Estos son los recíprocos del seno, el coseno y la tangente, respectivamente.
Considere un triángulo rectángulo con un ángulo agudo θ . Deje que el lado opuesto θ ser b , el lado adyacente será a , y la hipotenusa sea r . Las principales razones trigonométricas son:
\(\text{seno }θ =\sin θ =\frac{b}{r}\)
\(\text{coseno }θ =\cos θ =\frac{a}{r}\)
\(\text{tangente }θ =\tan θ =\frac{b}{a}\)
Por definición, el recíproco de cada razón es el valor que se multiplica por 1. Así definimos:
\(\text{cosecante }θ =\csc θ =\frac{1}{\sin θ} =\frac{r}{b}\)
\(\text{secante }θ =\sec θ =\frac{1}{\cos θ} =\frac{r}{a}\)
\(\text{cotangente }θ =\cot θ =\frac{1}{\tan θ} =\frac{a}{b}\)
Estas identidades recíprocas satisfacen las siguientes relaciones fundamentales para cualquier ángulo θ :
\(\sin θ \times \csc θ =1\)
\(\cos θ \times \sec θ =1\)
\(\tan θ \times \cot θ =1\)
Conocer el seno y el coseno nos permite derivar la tangente mediante la identidad del cociente:
\(\frac{\sin θ}{\cos θ} =\tan θ\)
\(\frac{\cos θ}{\sin θ} =\cot θ\)
La identidad pitagórica se deriva de la relación del triángulo rectángulo a ² + b ² =r ². Reorganizando y sustituyendo las razones seno y coseno se obtiene:
\(\sin^2 θ + \cos^2 θ =1\)
Insertar las identidades recíprocas en esta expresión da dos relaciones esenciales más:
\(\tan^2 θ + 1 =\sec^2 θ\)
\(\cot^2 θ + 1 =\csc^2 θ\)
Estas identidades forman la columna vertebral de muchas pruebas y aplicaciones trigonométricas, desde geometría simple hasta cálculos de ingeniería avanzados.
