Por Lee Johnson Actualizado el 30 de agosto de 2022
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En matemáticas, el concepto de coprimalidad, también llamado primo relativo o mutuamente, nos ayuda a comprender cómo interactúan los números en función de sus factores primos. Un par de números enteros es coprimo cuando el único divisor común que comparten es 1. Esta propiedad es la base de muchas áreas de la teoría de números, la criptografía y el diseño de algoritmos.
Dos números son coprimos si, después de descomponer cada uno en sus factores primos, no aparece ningún número primo en ambas factorizaciones. Por ejemplo, 21 =3 × 7 y 22 =2 × 11; el único divisor compartido es 1, por lo que 21 y 22 son coprimos. Los números primos son automáticamente coprimos con cualquier número que no contenga ese primo en su factorización.
La determinación del estado coprime comienza con la factorización prima. Tome 35 como ejemplo:
• 35 ÷ 5 =7 (ambos primos) → 35 =5 × 7.
A continuación, factorice 60:
• 60 ÷ 2 =30 → 30 ÷ 2 =15 → 15 ÷ 3 =5 → 5 es primo, entonces 60 =2² × 3 × 5.
Al enumerar los factores primos, podemos ver qué primos están ausentes y, por lo tanto, son adecuados para construir coprimos.
Una vez que se conocen los factores primos de un número, cualquier número entero construido únicamente a partir de números primos que no estén presentes en esa factorización será coprimo. Para 35 (primos 5 y 7), números como 2, 3, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, etc., y sus productos (6 (2×3), 9 (3²), 22 (2×11), 33 (3×11), 26 (2×13) son todos coprimos de 35.
De manera similar, para 60 (primos 2, 3, 5), cualquier número entero que evite estos primos es coprimo. Los ejemplos incluyen 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 y sus productos:77 (7×11), 91 (7×13), 119 (7×17), 143 (11×13), etc.
Atajos útiles:
La verificación más sencilla es factorizar ambos números y buscar números primos compartidos. Alternativamente, calcule el MCD; si es igual a 1, los números son coprimos. Este enfoque es más rápido para números enteros grandes y es la base de muchos protocolos criptográficos.
Las calculadoras en línea de factorización prima y MCD pueden automatizar estos pasos. Los recursos confiables incluyen WolframAlpha, Number Theory Toolbox y otras plataformas matemáticas de buena reputación.
