La tangente es una de las funciones trigonométricas fundamentales, junto con el seno y el coseno. Relaciona los ángulos de un triángulo con las proporciones de sus lados y es indispensable en campos que van desde la ingeniería hasta la física. En esta guía, analizaremos la definición clásica de triángulo rectángulo, ilustraremos su uso con un ejemplo simple y luego mostraremos cómo se puede derivar el mismo valor de otras funciones trigonométricas y calcularlo usando una expansión en serie de potencias.
Etiqueta el triángulo rectángulo para que las relaciones queden claras. Coloque el ángulo recto en el vértice C, formando la hipotenusa opuesta a este ángulo. Sea el ángulo agudo de interés θ en el vértice A. El lado adyacente a θ se denomina b y el lado opuesto a θ se denomina a. Los dos catetos (aandb) junto con la hipotenusa forman el triángulo completo.
Por definición, la tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del lado opuesto al ángulo y la longitud del lado adyacente al ángulo:
\[\tan\theta =\frac{a}{b}\]
Considere un triángulo rectángulo isósceles, donde los catetos son iguales:a=b. Aquí, \(\tan\theta =1\). Como ambos ángulos agudos miden 45°, confirmamos que \(\tan45^{\circ}=1\).
Debido a que \(\sin\theta =\frac{a}{h}\) y \(\cos\theta =\frac{b}{h}\), dividir los dos da:\[\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
Para mayor precisión o ángulos no enteros, utilice la serie de Maclaurin:\[\sin x =x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\]\[\cos x =1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots\]Entonces\[\tan x =\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots}{1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots}\]
Truncar la serie con la precisión deseada; para la mayoría de los fines prácticos, unos pocos términos son suficientes.
