Las tasas de cambio aparecen en la ciencia, y especialmente en la física a través de cantidades como la velocidad y la aceleración. Los derivados describen la tasa de cambio de una cantidad con respecto a otra matemáticamente, pero calcularlas puede ser complicado a veces, y se le puede presentar un gráfico en lugar de una función en forma de ecuación. Si se le presenta un gráfico de una curva y tiene que encontrar la derivada a partir de ella, es posible que no pueda ser tan preciso como con una ecuación, pero puede hacer fácilmente una estimación sólida.

TL ; DR (Demasiado largo; No leído)

Elija un punto en el gráfico para encontrar el valor de la derivada en.

Dibuje una línea recta tangente a la curva del gráfico en este punto.

Toma la pendiente de esta línea para encontrar el valor de la derivada en tu punto elegido en el gráfico.

¿Qué es una derivada?

Fuera de la configuración abstracta de diferenciación de una ecuación, es posible que esté un poco confundido acerca de lo que realmente es una derivada. En álgebra, una derivada de una función es una ecuación que te dice el valor de la "pendiente" de la función en cualquier punto. En otras palabras, te dice cuánto cambia una cantidad dado un pequeño cambio en la otra. En un gráfico, el gradiente o pendiente de la línea le dice cuánto cambia la variable dependiente (colocada en el eje y
) con la variable independiente (en el eje x
) .

Para gráficos en línea recta, usted determina la tasa de cambio (constante) calculando la pendiente del gráfico. Las relaciones descritas por curvas no son tan fáciles de tratar, pero el principio de que la derivada solo significa la pendiente (en ese punto específico) sigue siendo cierto.

Elija la ubicación correcta para su derivada

Para las relaciones descritas por curvas, la derivada toma un valor diferente en cada punto a lo largo de la curva. Para estimar la derivada del gráfico, debe elegir un punto para tomar la derivada en. Por ejemplo, si tiene un gráfico que muestra la distancia recorrida contra el tiempo, en un gráfico en línea recta, la pendiente le indicará la velocidad constante. Para las velocidades que cambian con el tiempo, el gráfico sería una curva, pero una línea recta que toque la curva en un punto (una línea tangencial a la curva) representa la tasa de cambio en ese punto específico.

Elija un lugar en el que necesita saber la derivada. Utilizando el ejemplo de distancia recorrida en función del tiempo, seleccione la hora a la que desea conocer la velocidad de viaje. Si necesita conocer la velocidad en varios puntos diferentes, puede ejecutar este proceso para cada punto individual. Si desea conocer la velocidad 15 segundos después del inicio del movimiento, elija el punto en la curva a 15 segundos en el eje x
.

Dibuje una línea tangente en la curva en That Point

Dibuja una línea tangencial a la curva en el punto que te interesa. Tómate tu tiempo al hacerlo, porque es la parte más importante y desafiante del proceso. Su estimación será mejor si dibuja una línea tangente más precisa. Mantenga una regla hasta el punto de la curva y ajuste su orientación para que la línea que dibuje solo toque la curva en el único punto que le interese.

Dibuje su línea como siempre que el gráfico lo permita. Asegúrese de que puede leer fácilmente dos valores para las coordenadas x
y y
, una cerca del inicio de la línea y otra cerca del final. No es necesario dibujar una línea larga (técnicamente cualquier línea recta es adecuada), pero las líneas más largas tienden a ser más fáciles de medir la pendiente de.

Encontrar la pendiente de la línea tangente

Localice dos lugares en su línea y anote las coordenadas x
y y
para ellos. Por ejemplo, imagine su línea tangente como dos puntos notables en x
= 1, y
= 3 y x
= 10, y
= 30, que puede llamar al Punto 1 y al Punto 2. Usando los símbolos x
_{1 y y
1 para representar las coordenadas del primer punto y x
2 y y
2 para representar las coordenadas del segundo punto, la pendiente m
está dada por:}

m
= ( y
_{2 - y
1) ÷ ( x
2 - x
1)}

Esto te dice la derivada de la curva en el punto donde la línea toca la curva. En el ejemplo, x
_{1 = 1, x
2 = 10, y
1 = 3 y y
2 = 30, entonces:}

m
= (30 -
3) ÷ (10 -
1)

= 27 ÷ 9

= 3

En el ejemplo, este resultado sería la velocidad en el punto elegido. Entonces, si el eje x
se midió en segundos y el eje y | se midió en metros, el resultado significaría que el vehículo en cuestión estaba viajando a 3 metros por segundo. Independientemente de la cantidad específica que esté calculando, el proceso de estimación de la derivada es el mismo.