Si conoce dos puntos que caen en una curva exponencial particular, puede definir la curva resolviendo la función exponencial general utilizando esos puntos. En la práctica, esto significa sustituir los puntos por y y x en la ecuación y = ab ^{x. El procedimiento es más fácil si el valor x para uno de los puntos es 0, lo que significa que el punto está en el eje y. Si ninguno de los puntos tiene un valor cero x, el proceso para resolver xey es un poco más complicado.}

¿Por qué las funciones exponenciales son importantes?

Muchos sistemas importantes siguen patrones exponenciales de crecimiento y decaer. Por ejemplo, el número de bacterias en una colonia generalmente aumenta exponencialmente, y la radiación ambiental en la atmósfera después de un evento nuclear generalmente disminuye exponencialmente. Al tomar datos y trazar una curva, los científicos están en una mejor posición para hacer predicciones.

De un par de puntos a un gráfico

Cualquier punto en un gráfico bidimensional puede ser representado por dos números, que generalmente se escriben en la forma (x, y), donde x define la distancia horizontal desde el origen e y representa la distancia vertical. Por ejemplo, el punto (2, 3) es dos unidades a la derecha del eje y y tres unidades por encima del eje x. Por otro lado, el punto (-2, -3) está a dos unidades a la izquierda del eje y. y tres unidades debajo del eje x.

Si tiene dos puntos, (x _{1, y 1) y (x 2, y 2), usted puede definir la función exponencial que pasa por estos puntos al sustituirlos en la ecuación y = ab ^{x y resolver para a y b. En general, debe resolver este par de ecuaciones:}}

y _{1 = ab ^{x1 e y 2 = ab x2,.}}

In esta forma, la matemática parece un poco complicada, pero parece menos después de haber hecho algunos ejemplos.

Un punto en el eje X

Si es uno de los valores x - - decir x _{1 - es 0, la operación se vuelve muy simple. Por ejemplo, resolver la ecuación para los puntos (0, 2) y (2, 4) rinde:}

2 = ab ^{0 y 4 = ab 2. Como sabemos que b 0 = 1, la primera ecuación se convierte en 2 = a. Sustituir a en la segunda ecuación produce 4 = 2b 2, que simplificamos a b 2 = 2, o b = raíz cuadrada de 2, lo que equivale a aproximadamente 1.41. La función de definición es entonces y = 2 (1.41) x.}

Ningún punto en el eje X

Si ninguno de los valores x es cero, resolver el par de ecuaciones es ligeramente más engorroso. Henochmath nos muestra un ejemplo fácil para aclarar este procedimiento. En su ejemplo, eligió el par de puntos (2, 3) y (4, 27). Esto produce el siguiente par de ecuaciones:

27 = ab ⁴

3 = ab ²

Si divide la primera ecuación por la segunda, obtiene

9 = b ²

entonces b = 3. Es posible que b también sea igual a -3, pero en este caso, suponga que es positivo.

Puedes sustituir este valor por b en cualquier ecuación para obtener a. Es más fácil usar la segunda ecuación, entonces:

3 = a (3) ^{2 que se puede simplificar a 3 = a9, a = 3/9 o 1/3.}

La ecuación que pasa por estos puntos se puede escribir como y = 1/3 (3) ^x.

Un ejemplo del mundo real

Desde 1910, el crecimiento de la población humana ha han sido exponenciales, y trazando una curva de crecimiento, los científicos están en una mejor posición para predecir y planificar para el futuro. En 1910, la población mundial era de 1,75 mil millones, y en 2010, fue de 6,87 mil millones. Tomando 1910 como punto de partida, esto da el par de puntos (0, 1.75) y (100, 6.87). Debido a que el valor x del primer punto es cero, podemos encontrar fácilmente un.

1.75 = ab ^{0 o a = 1.75. Al tapar este valor, junto con los del segundo punto, en la ecuación exponencial general, se obtiene 6.87 = 1.75b 100, lo que da el valor de b como la raíz de centésima de 6.87 /1.75 o 3.93. Entonces la ecuación se vuelve y = 1.75 (raíz de centésima de 3.93) x. Aunque se necesita más que una regla de cálculo para hacerlo, los científicos pueden usar esta ecuación para proyectar números de poblaciones futuras para ayudar a los políticos en el presente a crear políticas apropiadas.}