Una función expresa relaciones entre constantes y una o más variables. Por ejemplo, la función f (x) = 5x + 10 expresa una relación entre la variable xy las constantes 5 y 10. Conocidas como derivadas y expresadas como dy /dx, df (x) /dx o f '(x), la diferenciación encuentra la tasa de cambio de una variable con respecto a otra - en el ejemplo, f (x) con respecto a x. La diferenciación es útil para encontrar la solución óptima, es decir, encontrar las condiciones máximas o mínimas. Existen algunas reglas básicas con respecto a las funciones de diferenciación.

Diferenciar una función constante. La derivada de una constante es cero. Por ejemplo, si f (x) = 5, entonces f '(x) = 0.

Aplica la regla de potencia para diferenciar una función. La regla de poder establece que si f (x) = x ^ n o x elevado a la potencia n, entonces f '(x) = nx ^ (n - 1) o x elevado a la potencia (n - 1) y multiplicado por norte. Por ejemplo, si f (x) = 5x, entonces f '(x) = 5x ^ (1 - 1) = 5. De manera similar, si f (x) = x ^ 10, entonces f' (x) = 9x ^ 9 ; y si f (x) = 2x ^ 5 + x ^ 3 + 10, entonces f '(x) = 10x ^ 4 + 3x ^ 2.

Encuentre la derivada de una función usando la regla del producto. El diferencial de un producto no es el producto de los diferenciales de sus componentes individuales: si f (x) = uv, donde u y v son dos funciones separadas, entonces f '(x) no es igual a f' (u) multiplicado por f '(v). Por el contrario, la derivada de un producto de dos funciones es la primera vez que la derivada de la segunda, más la segunda multiplicada por la derivada de la primera. Por ejemplo, si f (x) = (x ^ 2 + 5x) (x ^ 3), las derivadas de las dos funciones son 2x + 5 y 3x ^ 2, respectivamente. Luego, usando la regla del producto, f '(x) = (x ^ 2 + 5x) (3x ^ 2) + (x ^ 3) (2x + 5) = 3x ^ 4 + 15x ^ 3 + 2x ^ 4 + 5x ^ 3 = 5x ^ 4 + 20x ^ 3.

Obtenga la derivada de una función usando la regla del cociente. Un cociente es una función dividida por otra. La derivada de un cociente es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, luego dividido por el denominador al cuadrado. Por ejemplo, si f (x) = (x ^ 2 + 4x) /(x ^ 3), las derivadas del numerador y las funciones del denominador son 2x + 4 y 3x ^ 2, respectivamente. Luego, usando la regla del cociente, f '(x) = [(x ^ 3) (2x + 4) - (x ^ 2 + 4x) (3x ^ 2)] /(x ^ 3) ^ 2 = (2x ^ 4 + 4x ^ 3 - 3x ^ 4 - 12x ^ 3) /x ^ 6 = (-x ^ 4 - 8x ^ 3) /x ^ 6.

Usa derivados comunes. Las derivadas de las funciones trigonométricas comunes, que son funciones de ángulos, no necesitan derivarse de los primeros principios: las derivadas de sen x y cos x son cos x y -sin x, respectivamente. La derivada de la función exponencial es la función misma - f (x) = f '(x) = e ^ x, y la derivada de la función logarítmica natural, ln x, es 1 /x. Por ejemplo, si f (x) = sin x + x ^ 2 - 4x + 5, entonces f '(x) = cos x + 2x - 4.