Imagina que estás parado en el centro de una arena perfectamente circular, mirando a la multitud alrededor del borde. Ves a un amigo en un asiento y a un profesor en otro. ¿A qué distancia están? ¿Qué ángulo forman las líneas de visión entre tú y cada uno de ellos? Estas preguntas se responden con el concepto de ángulo central .
Un ángulo central es el ángulo formado por dos radios trazados desde el centro del círculo hasta dos puntos de su circunferencia. Los dos radios son las líneas de visión entre usted y el amigo y el maestro. El ángulo entre ellos es el ángulo central, el ángulo más cercano al centro del círculo.
El amigo y el maestro se sientan en la circunferencia del círculo. El camino curvo a lo largo del borde que los conecta se llama arco. .
Si conoce la longitud del arco (la distancia que caminarías por la arena para ir del amigo al maestro) y la circunferencia total del círculo, la relación entre los dos es:
longitud del arco / circunferencia =ángulo central / 360°
Reorganizar da:
ángulo central =(longitud del arco / circunferencia) × 360°
Esta proporción funciona porque la fracción del perímetro del círculo que ocupa el arco es exactamente la misma fracción del ángulo completo de 360°.
Cuando el radio r Se conoce la longitud del círculo, puedes calcular el ángulo central en radianes con:
θ =s/r
donde s es la longitud del arco. El resultado θ se mide en radianes. Si prefiere grados, multiplique el valor en radianes por 57,2958 (o simplemente utilice el método de circunferencia anterior).
También puedes resolver la longitud del arco:
s =θ × r
o para el radio cuando se dan la longitud del arco y el ángulo central:
r =s / θ
Considere a una tercera persona (su vecino) sentada en el lado opuesto de la arena. Desde la perspectiva del vecino, las dos líneas de visión hacia el amigo y el maestro forman un ángulo inscrito (un ángulo cuyos vértices se encuentran en la circunferencia). El teorema del ángulo central vincula este ángulo inscrito con el ángulo central que observas:
∠AOC =2∠ABC
Aquí, los puntos A y B son el amigo y el maestro, C es el vecino y O es el centro. El teorema se cumple cuando el vecino se encuentra en el mismo lado de la cuerda AB que el arco que no contiene los otros puntos.
Cuando el punto inscrito C se mueve dentro del arco menor entre A y B, la relación cambia. El ángulo inscrito pasa a ser el suplemento de la mitad del ángulo central:
∠ABC =180° – (∠AOC / 2)
En otras palabras, el ángulo inscrito y la mitad del ángulo central suman 180°.
Math Open Reference ofrece una herramienta interactiva que le permite arrastrar al vecino alrededor del círculo y observar cómo evolucionan los ángulos centrales e inscritos en tiempo real. Pruébelo para comprender de manera práctica la teoría.
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