Para construir un vector que sea perpendicular a otro vector dado, puede usar técnicas basadas en el producto punto y el producto cruzado de vectores. El producto punto de los vectores A = (a1, a2, a3) y B = (b1, b2, b3) es igual a la suma de los productos de los componentes correspondientes: A ∙ B = a1_b2 + a2_b2 + a3_b3. Si dos vectores son perpendiculares, entonces su producto punto es igual a cero. El producto cruzado de dos vectores se define como A × B = (a2_b3 - a3_b2, a3_b1 - a1_b3, a1_b2 - a2 * b1). El producto cruzado de dos vectores no paralelos es un vector que es perpendicular a ambos.
Dos dimensiones - Producto de puntos
Escriba un vector hipotético desconocido V = (v1, v2).
Calcule el producto de puntos de este vector y el vector dado. Si le dan U = (-3,10), entonces el producto escalar es V ∙ U = -3 v1 + 10 v2.
Establezca el producto de puntos igual a 0 y resuelva para un componente desconocido en términos del otro: v2 = (3/10) v1.
Elija cualquier valor para v1. Por ejemplo, deje v1 = 1.
Resuelva para v2: v2 = 0.3. El vector V = (1,0.3) es perpendicular a U = (-3,10). Si elige v1 = -1, obtendría el vector V '= (-1, -0.3), que apunta en la dirección opuesta a la primera solución. Estas son las dos únicas direcciones en el plano bidimensional perpendicular al vector dado. Puede escalar el nuevo vector a la magnitud que desee. Por ejemplo, para convertirlo en un vector unitario con magnitud 1, construirá W = V /(magnitud de v) = V /(sqrt (10) = (1 /sqrt (10), 0.3 /sqrt (10).
Three Dimensions - Dot Product
Escribe un hipotético vector desconocido V = (v1, v2, v3).
Calcula el producto de puntos de este vector y el dado Si le dan U = (10, 4, -1), entonces V ∙ U = 10 v1 + 4 v2 - v3.
Establezca el producto de puntos igual a cero. Esta es la ecuación para un plano en tres dimensiones. Cualquier vector en ese plano es perpendicular a U. Cualquier conjunto de tres números que satisfaga 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0 servirá.
Elija valores arbitrarios para v1 y v2, y resuelve para v3. Deje v1 = 1 y v2 = 1. Entonces v3 = 10 + 4 = 14.
Realice la prueba de producto de puntos para mostrar que V es perpendicular a U: mediante la prueba de producto de punto, el vector V = (1, 1, 14) es perpendicular al vector U: V ∙ U = 10 + 4 - 14 = 0.
Tres dimensiones - Producto cruzado
Elija cualquier vector arbitrario que no es paralelo l al vector dado. Si un vector Y es paralelo a un vector X, entonces Y = a * X para alguna constante distinta de cero a. Para simplificar, use uno de los vectores de base de unidades, como X = (1, 0, 0).
Calcule el producto cruzado de X y U, usando U = (10, 4, -1): W = X × U = (0, 1, 4).
Compruebe que W es perpendicular a U. W ∙ U = 0 + 4 - 4 = 0. Usando Y = (0, 1, 0) o Z = (0, 0, 1) daría diferentes vectores perpendiculares. Todos ellos se encontrarían en el plano definido por la ecuación 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0.
