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La trigonometría puede parecer abstracta, pero el círculo unitario convierte esos misterios en geometría concreta. Al colocar un círculo de radio1 en el origen de un sistema de coordenadas, cada valor trigonométrico se convierte simplemente en la coordenada x o y de un punto.
El círculo unitario tiene radio 1. Los ángulos se miden desde el punto (1,0) en el eje x positivo y aumentan en el sentido contrario a las agujas del reloj. Para cualquier ánguloθ:
Un círculo unitario es simplemente un círculo cuyo radio es exactamente una unidad. Esa unidad puede ser metros, pies, pulgadas, cualquier medida; la clave es que el radio es 1. Debido a esto, la circunferencia y el área del círculo se convierten en múltiplos simples de π, y muchas fórmulas trigonométricas se reducen a números puros.
Coloca el círculo de modo que su centro coincida con el origen de un plano cartesiano. El círculo corta al eje x positivo en (1,0). Por convención, comenzamos a medir ángulos desde ese punto y nos movemos en sentido antihorario. Así, el punto (1,0) corresponde a 0°, (0,1) a 90°, (‑1,0) a 180° y (0,‑1) a 270° (o –90°).
En los cursos de primaria, el sen, el cos y la tan se introducen mediante triángulos rectángulos:
\(\sin\theta =\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\)
\(\cos\theta =\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}\)
\(\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
En el círculo unitario la hipotenusa siempre es 1, por lo que las ecuaciones se simplifican a:
\(\sin\theta =\text{opuesto}\)
\(\cos\theta =\text{adyacente}\)
Si dibujamos un radio que forma un ángulo θ con el eje x positivo, el lado "opuesto" es la coordenada y y el lado "adyacente" es la coordenada x del punto donde el radio se encuentra con el círculo. En consecuencia, sinθ es la coordenada y y cosθ es la coordenada x. Esto explica por qué sin0°=0 y cos0°=1, o sin90°=1 y cos90°=0.
Los ángulos negativos se manejan de forma natural:una rotación en el sentido de las agujas del reloj desde el punto inicial comparte la misma coordenada x que el ángulo positivo correspondiente, pero invierte el signo de la coordenada y. Por lo tanto:
\(\cos(-\theta) =\cos\theta\)
\(\sin(-\theta) =-\sin\theta\)
Utilizando las definiciones circulares de sen y cos, tan se simplifica a la relación entre la coordenada y y la coordenada x:
\(\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{y}{x}\)
Esta forma deja claro por qué tan no está definido en 90° (o 270°), donde x=0, porque la división por cero es imposible.
Cuando observa el círculo unitario, la coordenada x varía suavemente de 1 a –1 a medida que se mueve de 0° a 180° y luego retrocede a 1 en 360°. La función seno sigue el mismo patrón pero alcanza su pico de 1 a 90° primero. Por lo tanto, sen y cos están desfasados 90°. La tangente, que es la relación y/x, tiene asíntotas verticales donde x=0, lo que produce el conocido patrón repetitivo con puntos indefinidos en múltiplos impares de 90°.
