Supongamos que tiene n tipos de elementos y desea seleccionar una colección de r de ellos. Es posible que deseemos estos artículos en algún orden particular. Llamamos a estos conjuntos de permutaciones de elementos. Si el pedido no importa, llamamos al conjunto de combinaciones de colecciones. Para ambas combinaciones y permutaciones, puede considerar el caso en el que elige algunos de los n tipos más de una vez, que se llama 'con repetición', o el caso en el que elige cada tipo solo una vez, que se llama 'no repetición'. '. El objetivo es poder contar el número de combinaciones o permutaciones posibles en una situación dada.

Pedidos y factoriales

La función factorial se usa a menudo al calcular combinaciones y permutaciones. ¡NORTE! significa N × (N-1) × ... × 2 × 1. Por ejemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. El número de formas de ordenar un conjunto de elementos es factorial. Toma las tres letras a, by c. Tienes tres opciones para la primera letra, dos para la segunda y solo una para la tercera. En otras palabras, un total de 3 × 2 × 1 = 6 ordenamientos. En general, hay n! formas de ordenar n elementos.

Permutaciones con repetición

Supongamos que tiene tres salas que va a pintar, y cada una se pintará de cinco colores: rojo (r), verde ( g), azul (b), amarillo (y) o naranja (o). Puedes elegir cada color tantas veces como quieras. Tienes cinco colores para elegir para la primera habitación, cinco para la segunda y cinco para la tercera. Esto da un total de 5 × 5 × 5 = 125 posibilidades. En general, la cantidad de maneras de elegir un grupo de elementos r en un orden particular entre n opciones repetibles es n ^ r.

Permutaciones sin repetición

Supongamos ahora que cada sala va a ser un color diferente Puedes elegir entre cinco colores para la primera habitación, cuatro para la segunda y solo tres para la tercera. Esto da 5 × 4 × 3 = 60, que resulta ser 5! /2. En general, la cantidad de formas independientes de seleccionar r elementos en un orden particular de n opciones no repetibles es n! /(N-r) !.

Combinaciones sin repetición

Siguiente, olvídese qué habitación es de qué color. Solo elija tres colores independientes para el esquema de color. El orden no importa aquí, entonces (rojo, verde, azul) es lo mismo que (rojo, azul, verde). ¡Para cualquier elección de tres colores, hay 3! formas en que puedes ordenarlos ¡Así que reduces el número de permutaciones en 3! para obtener 5! /(2! × 3!) = 10. En general, puede elegir un grupo de r elementos en cualquier orden de una selección de n opciones no repetibles en n! /[(n-r)! × r! ] maneras.

Combinaciones con repetición

Finalmente, debe crear un esquema de color en el que pueda usar cualquier color todas las veces que quiera. Un código de contabilidad inteligente ayuda a esta tarea de conteo. Usa tres X para representar las habitaciones. Su lista de colores está representada por 'rgbyo'. Mezcle las X en su lista de colores, y asocie cada X con el primer color a la izquierda de la misma. Por ejemplo, rgXXbyXo significa que la primera sala es verde, la segunda es verde y la tercera es amarilla. Una X debe tener al menos un color a la izquierda, por lo que hay cinco espacios disponibles para la primera X. Como la lista ahora incluye una X, hay seis espacios disponibles para la segunda X y siete espacios disponibles para la tercera X. todos, hay 5 × 6 × 7 = 7! /4! formas de escribir el código. Sin embargo, el orden de las habitaciones es arbitrario, por lo que en realidad solo hay 7! /(4! × 3!) Arreglos únicos. En general, puede elegir r elementos en cualquier orden de n opciones repetibles en (n + r-1)! /[(N-1)! × r!] Formas.