Un rompecabezas ofrece una visualización sencilla de una teselación que podríamos encontrar comúnmente. Hemera / Thinkstock Estudiamos matemáticas por su belleza, su elegancia y su capacidad para codificar los patrones tejidos en el tejido del universo. Dentro de sus figuras y fórmulas, el orden secular percibe y los religiosos captan ecos distantes del lenguaje de la creación. Las matemáticas logran lo sublime; algunas veces, como con los teselados, se eleva al arte.
Teselaciones - mosaicos sin huecos de formas definidas - pertenecen a una raza de proporciones, constantes y patrones que se repiten a lo largo de la arquitectura, se revelan bajo microscopios e irradian desde cada panal y girasol. Separar cualquier número de ecuaciones en geometría, física, Probabilidades y estadísticas, incluso la geomorfología y la teoría del caos, y encontrarás pi (π) situado como una piedra angular. El número de Euler (e) asoma la cabeza repetidamente en cálculo, cálculos de desintegración radiactiva, fórmulas de interés compuesto y ciertos casos impares de probabilidad. La proporción áurea (φ) formó la base del arte, diseño, la arquitectura y la música mucho antes de que la gente la descubriese también definía los arreglos naturales de hojas y tallos, huesos, arterias y girasoles, o coincidió con el ciclo de reloj de las ondas cerebrales [fuentes:Padovan, Weiss, Roopun]. Incluso tiene una relación con otro patrón perenne favorito, la secuencia de Fibonacci, que produce su propia progresión de mosaico única.
Ciencias, la naturaleza y el arte también rebosan de mosaicos. Como π, e y φ, ejemplos de estos patrones repetidos nos rodean todos los días, de las aceras mundanas, fondos de pantalla, rompecabezas y suelos de baldosas con el gran arte del artista gráfico holandés M.C. Escher, o el impresionante trabajo de los azulejos de la fortificación árabe del siglo XIV, la Alhambra, en granada, España. De hecho, la palabra "teselación" deriva de tessella , la forma diminutiva de la palabra latina tessera , un individuo, típicamente cuadrado, azulejo en un mosaico. Tessera a su vez puede surgir de la palabra griega tessares , es decir cuatro.
Matemáticas, la ciencia y la naturaleza dependen de patrones útiles como estos, cualquiera que sea su significado. Más allá de la belleza trascendente de un mosaico o grabado, las teselaciones encuentran aplicaciones en las matemáticas, astronomía, biología, botánica, ecología, gráficos de computadora, ciencia de materiales y una variedad de simulaciones, incluidos los sistemas de carreteras.
En este articulo, te mostraremos cuáles son estos mosaicos matemáticos, qué tipos de simetría pueden poseer y qué teselaciones especiales los matemáticos y científicos guardan en su caja de herramientas de trucos para resolver problemas.
Primero, veamos cómo construir una teselación.
Los mosaicos abarcan toda la gama, desde lo básico hasta lo abrumador. Los más simples consisten en una única forma que cubre un plano bidimensional sin dejar huecos. Desde allí, El cielo es el límite, desde patrones complejos de múltiples formas irregulares hasta sólidos tridimensionales que encajan entre sí para llenar el espacio o incluso dimensiones más altas.
Tres formas geométricas regulares en mosaico consigo mismas:triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos. Otras formas de cuatro lados también lo hacen, incluyendo rectángulos y romboides (diamantes). Por extensión, Los triángulos no equiláteros se colocan a la perfección si se colocan uno al lado del otro, creando paralelogramos. Curiosamente, hexágonos de cualquier forma en mosaico si sus lados opuestos son iguales. Por lo tanto, cualquier forma de cuatro lados puede formar un mosaico sin espacios si se coloca una detrás de la otra, haciendo un hexágono.
También puede teselar un plano combinando polígonos regulares, o mezclando polígonos regulares y semirregulares en disposiciones particulares. Los polígonos son formas bidimensionales formadas por segmentos de línea, como triángulos y rectángulos. Los polígonos regulares son casos especiales de polígonos en los que todos los lados y todos los ángulos son iguales. Los triángulos y cuadrados equiláteros son buenos ejemplos de polígonos regulares.
Todas las teselaciones, incluso los bien formados y complejos como M.C. De Escher, comience con una forma que se repita sin espacios. El truco consiste en alterar la forma, digamos, un romboide, de modo que todavía encaja perfectamente. Un enfoque simple implica cortar una forma de un lado y pegarla en otro. Esto produce una forma que encaja consigo misma y se apila fácilmente. Cuantos más lados alteres, cuanto más interesante se vuelve el patrón.
Si te sientes más aventurero, intente garabatear una línea ondulada en un lado, y luego copiando la misma línea en el lado opuesto. Este enfoque puede requerir algunos ajustes para que las piezas se entrelacen correctamente. Por ejemplo, si su polígono tiene un número impar de lados, es posible que desee dividir el lado sobrante por la mitad y luego dibujar formas de imagen especular a cada lado de la división. Esto crea un lado que se entrelaza consigo mismo.
Pruebe su suerte con dos o más formas que se teselan. Puedes hacer esto geométricamente, o simplemente llene la página con la forma que desee, y luego imagina una imagen que se ajuste al espacio negativo. Un método relacionado implica rellenar una forma de teselado conocida con formas más pequeñas. Incluso hay teselaciones fractales - patrones de formas que encajan perfectamente y son auto-similares en múltiples escalas.
No se preocupe si sus resultados iniciales parecen un poco absurdos. Escher tardó años en dominar estos locos mosaicos, e incluso él tenía emparejamientos que no siempre tenían sentido.
Ahora que hemos sentado las bases, echemos un vistazo a algunas de las teselaciones especiales que utilizan los investigadores para resolver problemas teóricos y aplicados complicados.
M.C. EscherNingún talento de teselación eclipsa al artista gráfico holandés M.C. Escher. Un litógrafo, leñador y grabador, Escher se interesó por las formas sublimes después de visitar la Alhambra cuando era joven [fuente:Universidad de St. Andrews].
Aunque no es el primero en mover teselados de formas geométricas a formas orgánicas y fantásticas, Escher se estableció como su practicante preeminente. Su fantasía Las obras de arte deslumbrantes ya menudo imposibles siguen siendo muy populares en la actualidad.
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Esta teselación de Voronoi analiza la densidad de fotones de una región en particular. Cada punto de la celda representa un fotón. Imagen cortesía de NASA A medida que los investigadores exploraron las teselaciones y las definieron matemáticamente, identificaron ciertos tipos que sobresalen en la resolución de problemas difíciles. Un ejemplo popular es el Teselación de Voronoi ( Vermont ) también conocido como la teselación de Dirichlet o los polígonos de Thiessen.
Un VT es una teselación basada en un conjunto de puntos, como estrellas en un gráfico. Cada punto está encerrado por una celda poligonal, una forma cerrada formada por segmentos de línea, que abarca toda el área que está más cerca de su punto de definición que de cualquier otro punto. Los límites de las celdas (o segmentos de polígono) son equidistantes a dos puntos; nodos, donde se encuentran tres o más células, son equidistantes a tres o más puntos definitorios. Los VT también pueden teselar dimensiones más altas.
El patrón de VT resultante se asemeja al tipo de panal que una abeja podría construir después de un doblador de néctar de toda la noche. Todavía, lo que a estas células locas les falta en belleza, compensan con creces su valor.
Como otras teselaciones, Los VT aparecen repetidamente en la naturaleza. Es fácil ver por qué:cualquier fenómeno que involucre fuentes puntuales que crezcan juntas a una tasa constante, como esporas de liquen sobre una roca, producirá una estructura similar a VT. Las colecciones de burbujas conectadas forman VT tridimensionales, una similitud que los investigadores aprovechan al modelar espumas.
Los VT también proporcionan una forma útil de visualizar y analizar patrones de datos. Los datos espaciales estrechamente agrupados se destacarán en un VT como áreas densas con celdas. Los astrónomos utilizan esta cualidad para ayudarles a identificar los cúmulos de galaxias.
Debido a que un procesador de computadora puede construir un VT sobre la marcha a partir de datos de origen puntual y un conjunto de instrucciones simples, El uso de VT ahorra memoria y potencia de procesamiento, cualidades vitales para generar gráficos de computadora de vanguardia o para simular sistemas complejos. Al reducir los cálculos necesarios, Los FP abren la puerta a investigaciones que de otro modo serían imposibles, como el plegamiento de proteínas, modelado celular y simulación de tejidos.
Un pariente cercano al VT, los Teselación de Delaunay también cuenta con una variedad de usos. Para hacer un teselado de Delaunay, comenzar con un VT, y luego dibuje líneas entre los puntos que definen las celdas de manera que cada nueva línea se cruce con una línea compartida de dos polígonos de Voronoi. La celosía resultante de triángulos regordetes proporciona una estructura práctica para simplificar los gráficos y el terreno.
Los matemáticos y estadísticos usan teselados de Delaunay para responder preguntas que de otro modo serían incomputables, como resolver una ecuación para cada punto del espacio. En lugar de intentar este cálculo infinito, calculan una solución para cada celda de Delaunay.
En su 27 de enero, 1921, discurso a la Academia de Ciencias de Prusia en Berlín, Einstein dijo:"En la medida en que las leyes de las matemáticas se refieren a la realidad, no están seguros; y hasta donde estén seguros, no se refieren a la realidad ". Claramente, las aproximaciones teseladas no alcanzan la perfección. Sin embargo, permiten el progreso al reducir problemas que de otro modo serían difíciles de manejar a una forma manejable por la potencia de cálculo actual. Más que eso, nos recuerdan la belleza subyacente y el orden del cosmos.
Simetría TemerosaTodos los planos bidimensionales con patrones repetitivos caen en uno de los 17 "grupos de papel tapiz" que describen sus tipos de simetría (aunque no todas las teselaciones son simétricas) [fuente:Joyce]. Las cuatro categorías principales incluyen:
Los famosos mosaicos de la Alhambra presentan 13 de los grupos de simetría. El arte egipcio utilizó 12 [fuentes:Grünbaum].
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