Esta vista parcial del conjunto de Mandelbrot, posiblemente el fractal más famoso del mundo, muestra el paso cuatro de una secuencia de zoom:El punto final central de la "cola de caballito de mar" es también un punto Misiurewicz. Wolfgang Beyer / (CC BY-SA 3.0) Los fractales son una paradoja. Increíblemente simple pero infinitamente complejo. Nuevo, pero más viejo que la suciedad. ¿Qué son los fractales? ¿De dónde vienen? ¿Por qué debería importarme?
El matemático poco convencional del siglo XX Benoit Mandelbrot creó el término fractal de la palabra latina fractus (que significa irregular o fragmentado) en 1975. Estas formas irregulares y fragmentadas están a nuestro alrededor. En su forma más básica, Los fractales son una expresión visual de un patrón o fórmula repetida que comienza simple y se vuelve progresivamente más complejo.
Una de las primeras aplicaciones de los fractales se produjo mucho antes de que se usara el término. Lewis Fry Richardson fue un matemático inglés de principios del siglo XX que estudió la longitud de la costa inglesa. Razonó que la longitud de una costa depende de la longitud de la herramienta de medición. Mide con una vara de medir, obtienes un número, pero mida con una regla más detallada de un pie de largo, que tiene más en cuenta la irregularidad del litoral, y obtienes un número mayor, etcétera.
Lleve esto a su conclusión lógica y terminará con una costa infinitamente larga que contiene un espacio finito, la misma paradoja planteada por Helge von Koch en Koch Snowflake. Este fractal implica tomar un triángulo y convertir el tercio central de cada segmento en una protuberancia triangular de manera que el fractal sea simétrico. Cada golpe es por supuesto, más largo que el segmento original, sin embargo, todavía contiene el espacio finito en su interior.
Extraño, pero en lugar de converger en un número en particular, el perímetro se mueve hacia el infinito. Mandelbrot vio esto y usó este ejemplo para explorar el concepto de dimensión fractal, en el camino demostrando que medir una línea de costa es un ejercicio de aproximación [fuente:NOVA].
Si los fractales realmente han existido todo este tiempo, ¿Por qué solo hemos oído hablar de ellos en los últimos 40 años más o menos?
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En el set de Mandelbrot, los puntos que permanecen finitos en todas las iteraciones se muestran en blanco; los valores que divergen hasta el infinito se muestran más oscuros. Enciclopedia Británica / Colaborador / Getty Images Antes de entrar en más detalles, necesitamos cubrir algo de terminología básica que le ayudará a comprender las cualidades únicas que poseen los fractales.
Todos los fractales muestran un grado de lo que se llama auto-semejanza . Esto significa que a medida que observa cada vez más de cerca los detalles de un fractal, se puede ver una réplica del conjunto. Un helecho es un ejemplo clásico. Mira toda la fronda. ¿Ves las ramas que salen del tallo principal? Cada una de esas ramas se parece a toda la fronda. Son auto-similares al original, solo en una escala más pequeña.
Estos patrones auto-similares son el resultado de una ecuación simple, o declaración matemática. Los fractales se crean repitiendo esta ecuación a través de un ciclo de retroalimentación en un proceso llamado iteración , donde los resultados de una iteración forman el valor de entrada para la siguiente. Por ejemplo, si miras el interior de una concha de nautilus, Verá que cada cámara del caparazón es básicamente una copia al carbón de la cámara anterior, simplemente más pequeños a medida que los traza desde el exterior hacia el interior.
Los fractales también son recursivo independientemente de la escala. ¿Alguna vez has entrado en el camerino de una tienda y te has encontrado rodeado de espejos? Para bien o para mal, estás viendo una imagen infinitamente recursiva de ti mismo.
Finalmente, una nota sobre geometría. La mayoría de nosotros crecimos aprendiendo esa longitud, ancho y alto son las tres dimensiones, y eso es eso. La geometría fractal lanza este concepto una curva al crear formas irregulares en dimensión fractal ; la dimensión fractal de una forma es una forma de medir la complejidad de esa forma.
Ahora toma todo eso y podemos ver claramente que un fractal puro es una forma geométrica que es auto-similar a través de infinitas iteraciones en un patrón recursivo y a través de infinitos detalles. Sencillo, ¿Derecha? No te preocupes, repasaremos todas las piezas lo suficientemente pronto.
Katsushika Hokusai usó el concepto fractal de auto-semejanza en su pintura "La gran ola de Kanagawa" a principios del siglo XIX. Dominio publico Cuando la mayoría de la gente piensa en fractales, a menudo piensan en el más famoso de todos, el conjunto de Mandelbrot. Nombrado en honor al matemático Benoit Mandelbrot, se ha convertido prácticamente en sinónimo del concepto de fractales. Pero está lejos de ser el único fractal de la ciudad.
Mencionamos el helecho antes, que representa uno de los fractales simples y limitados de la naturaleza. Los fractales limitados no continúan indefinidamente; solo muestran algunas iteraciones de formas congruentes. Los fractales simples y limitados tampoco son exactos en su auto-similitud:los folletos de un helecho pueden no imitar perfectamente la forma de la fronda más grande. La espiral de una concha y los cristales de un copo de nieve son otros dos ejemplos clásicos de este tipo de fractal que se encuentran en el mundo natural. Aunque no es matemáticamente exacto, todavía tienen una naturaleza fractal.
Los primeros artistas africanos y navajos notaron la belleza de estos patrones recursivos y buscaron emularlos en muchos aspectos de su vida cotidiana. incluyendo arte y urbanismo [fuentes:Eglash, Bales]. Como en la naturaleza, el número de iteraciones recursivas de cada patrón estaba limitado por la escala del material con el que estaban trabajando.
Leonardo da Vinci también vio este patrón en las ramas de los árboles, a medida que las ramas de los árboles crecían y se dividían en más ramas [fuente:Da Vinci]. En 1820, El artista japonés Katsushika Hokusai creó "The Great Wave Off Kanagawa, "una representación colorida de una gran ola del océano donde la parte superior se rompe en olas cada vez más pequeñas (auto-similares) [fuente:NOVA].
Los matemáticos eventualmente también se involucraron en el acto. Gaston Julia ideó la idea de utilizar un circuito de retroalimentación para producir un patrón repetitivo a principios del siglo XX. Georg Cantor experimentó con propiedades de conjuntos recursivos y auto-similares en la década de 1880, y en 1904 Helge von Koch publicó el concepto de curva infinita, utilizando aproximadamente la misma técnica pero con una línea continua. Y por supuesto, ya hemos mencionado a Lewis Richardson que explora la idea de Koch al intentar medir las costas inglesas.
Estas exploraciones en matemáticas tan complejas fueron en su mayoría teóricas, sin embargo. En ese momento faltaba una máquina capaz de realizar el trabajo pesado de tantos cálculos matemáticos en una cantidad de tiempo razonable para descubrir a dónde conducían realmente estas ideas. A medida que evolucionó el poder de las computadoras, también lo hizo la capacidad de los matemáticos para probar estas teorías.
En la siguiente sección, veremos las matemáticas detrás de la geometría fractal.
Un fractal de conjunto de Julia es el límite del conjunto completo (el conjunto de "puntos excepcionales"). Hay dos tipos de conjuntos de Julia:conjuntos conectados (conjunto de Fatou) y conjuntos de Cantor (polvo de Fatou). Encyclopaedia Britannica / UIG Via Getty Images Pensamos que las montañas y otros objetos del mundo real tienen tres dimensiones. En geometría euclidiana asignamos valores a la longitud de un objeto, alto y ancho, y calculamos atributos como área, volumen y circunferencia basados en esos valores. Pero la mayoría de los objetos no son uniformes; montañas, por ejemplo, tienen bordes dentados. La geometría fractal nos permite definir y medir con mayor precisión la complejidad de una forma cuantificando cuán rugosa es su superficie. Los bordes irregulares de esa montaña se pueden expresar matemáticamente:ingrese la dimensión fractal, que por definición es mayor o igual que la dimensión euclidiana (o topológica) de un objeto (D => D T ).
Una forma relativamente sencilla de medir esto se llama método de recuento de cajas (o Dimensión de Minkowski-Bouligand). Intentarlo, coloque un fractal en un trozo de papel cuadriculado. Cuanto más grande sea el fractal y más detallado el papel cuadriculado, más preciso será el cálculo de la dimensión.
D =log N / log (1 / h)
En esta fórmula, D es la dimensión, norte es el número de cuadros de cuadrícula que contienen una parte del fractal en su interior, y h es el número de bloques de cuadrícula que abarcan los fractales en el papel cuadriculado. Sin embargo, si bien este método es simple y accesible, no siempre es el más preciso.
Uno de los métodos más estándar para medir fractales es usar la Dimensión de Hausdorff, que es D =log N / log s, dónde norte es el número de partes que produce un fractal de cada segmento, y s es el tamaño de cada pieza nueva en comparación con el segmento original. Parece simple pero dependiendo del fractal, esto puede complicarse bastante rápido.
Puede producir una variedad infinita de fractales simplemente cambiando algunas de las condiciones iniciales de una ecuación; aquí es donde entra la teoría del caos. En la superficie, la teoría del caos suena como algo completamente impredecible, pero la geometría fractal se trata de encontrar el orden en lo que inicialmente parece ser caótico. Comience a contar la multitud de formas en que puede cambiar las condiciones iniciales de la ecuación y comprenderá rápidamente por qué hay una cantidad infinita de fractales.
Sin embargo, no limpiará el piso con la esponja Menger, Entonces, ¿de qué sirven los fractales?
Fractales famosos y sus tiposAlgunos fractales comienzan con un segmento o estructura de línea básica y se agregan. De esta manera se hace una curva de dragón. Otros son reduccionistas, comenzando como una forma sólida y restando repetidamente de ella. El Triángulo de Sierpinski y la Esponja Menger están en ese grupo. Fractales más caóticos forman un tercer grupo, creado usando fórmulas relativamente simples y graficando millones de veces en una cuadrícula cartesiana o un plano complejo. El conjunto de Mandelbrot es la estrella de rock de este grupo, pero los Atractores Extraños también son geniales. Todas estas imágenes son expresiones de fórmulas matemáticas.
Después de que Mandelbrot publicara su obra fundamental en 1975 sobre fractales, Uno de los primeros usos prácticos se produjo en 1978 cuando Loren Carpenter quiso hacer algunas montañas generadas por computadora. Usando fractales que comienzan con triángulos, creó una cadena montañosa increíblemente realista [fuente:NOVA].
En la década de 1990, Nathan Cohen se inspiró en Koch Snowflake para crear una antena de radio más compacta utilizando nada más que un cable y un par de alicates. Hoy dia, Las antenas de los teléfonos móviles utilizan fractales como la Esponja Menger, el fractal de caja y los fractales que llenan el espacio como una forma de maximizar el poder receptivo en una cantidad mínima de espacio [fuente:Cohen].
Si bien no tenemos tiempo para analizar todos los usos que los fractales tienen para nosotros hoy, algunos otros ejemplos incluyen biología, medicamento, modelado de cuencas hidrográficas, geofísica, y metrología con formación de nubes y flujos de aire [fuente:NOVA].
Este artículo está destinado a iniciarte en el alucinante mundo de la geometría fractal. Si tiene una inclinación matemática, es posible que desee explorar este mundo mucho más utilizando las fuentes enumeradas en la página siguiente. Los lectores menos inclinados a las matemáticas pueden querer explorar el potencial infinito del arte y la belleza de esta increíble y compleja fuente de inspiración.
Cómo hacer tu propio fractalToma una hoja de papel en blanco, y dibuja una línea recta desde el centro hasta la parte inferior. Ahora dibuja dos líneas, la mitad de largo que el primero, saliendo en ángulos de 45 grados desde la parte superior de la primera línea, formando una Y. Haz eso nuevamente para cada bifurcación en la Y. Esa es la primera iteración en tu fractal. Sigue haciéndolo con cada tenedor. En la tercera o cuarta iteración, comenzará a darse cuenta de por qué la geometría fractal no se desarrolló antes de la era de las computadoras. ¡Felicitaciones, acabas de hacer un dosel fractal! Mézclalo modificando ligeramente las líneas iniciales (o mucho) y observa qué sucede.
Publicado originalmente:26 de abril de 2011
