Al igual que en álgebra, cuando comienzas a aprender trigonometría, acumulas conjuntos de fórmulas que son útiles para resolver problemas. Uno de estos conjuntos son las identidades de medio ángulo, que puede usar para dos propósitos. Una es convertir las funciones trigonométricas de (θ /2) en funciones en términos de la θ más familiar (y más fácil de manipular). El otro es encontrar el valor real de las funciones trigonométricas de θ, cuando θ puede expresarse como la mitad de un ángulo más familiar.
Revisar las identidades de medio ángulo
Muchos libros de texto de matemáticas enumerarán cuatro medias primarias Identidades angulares. Pero al aplicar una mezcla de álgebra y trigonometría, estas ecuaciones se pueden combinar en varias formas útiles. No necesariamente tiene que memorizar todo esto (a menos que su maestro insista), pero debe, al menos, entender cómo usarlos:
Identidad de medio ángulo para seno
< li> sin (θ /2) \u003d ± √ [(1 - cosθ) /2]
Identidad de medio ángulo para coseno
Identidades de medio ángulo para tangente
Identidades de medio ángulo para cotangente
Entonces, ¿cómo se usan las identidades de medio ángulo? El primer paso es reconocer que se trata de un ángulo que es la mitad de un ángulo más familiar.
imagina que se te pide encontrar el seno del ángulo 15 grados. Este no es uno de los ángulos para los que la mayoría de los estudiantes memorizarán los valores de las funciones trigonométricas. Pero si deja que 15 grados sean iguales a θ /2 y luego resuelve para θ, encontrará que:
θ /2 \u003d 15
θ \u003d 30
Debido a que el θ resultante, 30 grados, es un ángulo más familiar, será útil usar la fórmula de medio ángulo aquí.
Porque ha Si se le pide que encuentre el seno, en realidad solo hay una fórmula de medio ángulo para elegir:
sin (θ /2) \u003d ± √ [(1 - cosθ) /2]
Sustituir en θ /2 \u003d 15 grados y θ \u003d 30 grados le da:
sin (15) \u003d ± √ [(1 - cos (30)) /2]
Si desea Si se le pide que encuentre la tangente o cotangente, las cuales multiplican la mitad de las formas de expresar su identidad de medio ángulo, simplemente elegiría la versión que parecía más fácil de trabajar.
El signo ± al comienzo de algunas identidades de medio ángulo significa que la raíz en cuestión podría ser positiva o negativa. Puede resolver esta ambigüedad utilizando su conocimiento de las funciones trigonométricas en cuadrantes. Aquí hay un resumen rápido de las funciones trigonométricas que devuelven valores positivos en los cuadrantes: Porque en este caso su ángulo θ representa 30 grados, que cae en el Cuadrante I, usted sabe que el valor del seno que devuelve será positivo. Entonces puede soltar el signo ± y simplemente evaluar: sin (15) \u003d √ [(1 - cos (30)) /2] Sustituir en el conocido, conocido valor de cos (30). En este caso, use los valores exactos (en oposición a las aproximaciones decimales de un gráfico): sin (15) \u003d √ [(1 - √3 /2) /2] A continuación, simplifique el lado derecho de su ecuación para encontrar un valor para sin (15). Comienza multiplicando la expresión bajo el radical por 2/2, lo que te da: sin (15) \u003d √ [2 (1 - √3 /2) /4] Esto simplifica a: sin (15) \u003d √ [(2 - √3) /4] A continuación, puede factorizar la raíz cuadrada de 4: sin (15 ) \u003d (1/2) √ (2 - √3) En la mayoría de los casos, esto es lo más simplificado posible. Si bien el resultado puede no ser terriblemente bonito, has traducido el seno de un ángulo desconocido en una cantidad exacta.
