Todos los estudiantes de matemáticas y muchos estudiantes de ciencias se encuentran con polinomios en algún momento durante sus estudios, pero afortunadamente son fáciles de manejar una vez que aprendan los conceptos básicos. Las operaciones principales que necesitará hacer con expresiones polinómicas son sumar, restar, multiplicar y dividir, y aunque la división puede ser compleja, la mayoría de las veces podrá manejar los conceptos básicos con facilidad.
Polinomios: Definición y ejemplos

Polynomial describe una expresión algebraica con uno o más términos que involucran una variable (o más de uno), con exponentes y posiblemente constantes. No pueden incluir la división por una variable, no pueden tener exponentes negativos o fraccionarios y deben tener un número finito de términos.

Este ejemplo muestra un polinomio:

x

<sup>3 + 2 x
2 - 9 x
- 4</sup>

Y esto muestra otro:

xy

<sup>2 - 3 x
+ y</sup>

Hay muchas formas de clasificar polinomios, incluso por grado (la suma de los exponentes en el término de mayor potencia, por ejemplo, 3 en el primer ejemplo) y por el número de términos que contienen, como monomios (un término), binomios (dos términos) y trinomios (tres términos).
Sumar y restar polinomios

Sumar y restar polinomios depende de la combinación de términos "similares". Un término similar es uno con las mismas variables y exponentes que otro, pero el número por el que se multiplican (el coeficiente) puede ser diferente. Por ejemplo, x
^{2 y 4 x
2 son términos similares porque tienen la misma variable y exponente, y 2 xy
4 y 6 xy
4 son términos similares también. Sin embargo, x
2, x
3, x
2 y
2 y < em> y
2 no son términos similares, porque cada uno contiene diferentes combinaciones de variables y exponentes.}

Agregue polinomios combinando términos similares de la misma manera que lo haría con otros términos algebraicos. Por ejemplo, observe el problema:

( x
<sup>3 + 3 x
) + (9 x
3 + 2 x
+ y
)</sup>

Reúna los términos similares para obtener:

( x
<sup>3 + 9 x
3) + (3 x
+ 2 x
) + y</sup>

Y luego evalúe simplemente sumando los coeficientes y combinándolos en un solo término:

10 x
<sup>3 + 5 x
+ y</sup>

Tenga en cuenta que no puede hacer nada con y
porque no tiene un término similar.

La resta funciona de la misma manera:

(4 x
^{4 + 3 y
2 + 6 y
) - (2 x
4 + 2 y
2 + y
)}

Primero, tenga en cuenta que todos los términos en el corchete derecho se restan de los del corchete izquierdo, así que escríbalo como :

4 x
<sup>4 + 3 y
2 + 6 y
- 2 x
4 - 2 y
2− y</sup>

Combina términos similares y evalúa para obtener:

(4 x
4 - 2 x
<sup>4) + (3 y
2 - 2 y
2) + (6 y
- y
)</sup>

\u003d 2 x
^{4 + y
2 + 5 y}

Para un problema como este:

(4 xy
+ x
<sup>2) - (6 xy
- 3 x
2)</sup>

Tenga en cuenta que el signo menos se aplica a toda la expresión en el corchete derecho, por lo que los dos signos negativos antes de 3_x_ ^{2 se convierten en un signo de suma:}

(4 xy
+ x
<sup>2) - (6 xy
- 3 x
2) \u003d 4 xy
+ x
2 - 6 xy
+ 3 x
2</sup>

Luego calcule como antes.
Multiplicar expresiones polinomiales

Multiplique expresiones polinómicas usando la propiedad distributiva de la multiplicación. En resumen, multiplique cada término en el primer polinomio por cada término en el segundo. Mire este ejemplo simple:

4 x
× (2 x
^{2 + y
)}

Usted resuelva esto usando la propiedad distributiva, entonces:

4 x
× (2 x
^{2 + y
) \u003d (4 < em> x
× 2 x
2) + (4 x
× y
)}

\u003d 8 x
^{3 + 4 xy}

Aborde los problemas más complicados de la misma manera:

(2 y
^{3 + 3 x
) × (5 x
2 + 2 x
)}

\u003d (2 y
^{3 × (5 x
2 + 2 x
)) + (3 x
× (5 x
2 + 2 x
))}

\u003d (2 y
^{3 × 5 x
2) + (2 y
3 × 2 x
) + (3 x
× 5 x
2) + (3 x
× 2 x
)}

\u003d 10 y
<sup>3 x
2 + 4 < em> y
3 x
+ 15 x
3 + 6 x
2</sup>

Estos los problemas pueden complicarse para grupos más grandes, pero el proceso básico sigue siendo el mismo.
Dividir el polinomio E xpressions

La división de expresiones polinomiales lleva más tiempo, pero puede abordarla en pasos. Mire la expresión:

( x
<sup>2 - 3 x
- 10) /( x
+ 2)</sup>

Primero, escribe la expresión como una división larga, con el divisor a la izquierda y el dividendo a la derecha:

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

Divida el primer término en el dividendo por el primer término en el divisor, y ponga el resultado en la línea sobre el división. En este caso, x
^{2 ÷ x
\u003d x
, entonces:}

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

Multiplica este resultado por el divisor completo, por lo que en este caso, ( x
+ 2) × x
\u003d x
^{2 + 2 < em> x
. Ponga este resultado debajo de la división:}

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

Reste el resultado en la nueva línea de los términos directamente encima de él (tenga en cuenta que técnicamente cambia el signo, por lo que si tuviera un resultado negativo lo agregaría en su lugar) y colóquelo en una línea debajo de él. Mueva el término final del dividendo original también hacia abajo.

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

Ahora repita el proceso con el divisor y el nuevo polinomio en la línea inferior. Entonces divida el primer término del divisor ( x
) por el primer término del dividendo (−5 x
) y ponga esto arriba:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

Multiplica este resultado (−5 x
÷ x
\u003d −5) por el divisor original (entonces (< em> x
+ 2) × −5 \u003d −5 x
−10) y coloque el resultado en una nueva línea inferior:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

−5 x
- 10

Luego reste la línea inferior de la siguiente (así que en este caso cambie el signo y agregue) y coloque el resultado en una nueva línea inferior:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

−5 x
- 10

0 0

Dado que ahora hay una fila de ceros en la parte inferior, el proceso ha finalizado. Si quedaran términos distintos de cero, repetiría el proceso nuevamente. El resultado está en la línea superior, entonces:

( x
<sup>2 - 3 x
- 10) /( x
+ 2) \u003d x
- 5</sup>

Esta división y algunas otras se pueden resolver de manera más simple si puede factorizar el polinomio en el dividendo.