Antes de comenzar a simplificar o manipular expresiones racionales, tómese un momento para revisar qué es la expresión racional en sí misma: una fracción con un polinomio tanto en el numerador como en el denominador. O, para decirlo de otra manera, una relación de un polinomio a otro. Una vez que haya identificado una expresión racional, el proceso de simplificación se reduce a tres pasos.
Los pasos para simplificar expresiones racionales

El proceso para simplificar funciones racionales sigue una hoja de ruta bastante simple. Lo primero que debes hacer es combinar términos semejantes, si aún no lo has hecho, para ayudarte a ver claramente los polinomios.

A continuación, factoriza cada polinomio. A veces, todo lo que tienes que hacer es escribir cada término. Por ejemplo, está claro que 4x (que en realidad es un polinomio, aunque solo tiene un término) tiene dos factores: 4 y x. Pero con polinomios más complicados, su mejor herramienta es a menudo reconocer patrones para tipos específicos de polinomios que ya conoció. Por ejemplo, si ha prestado mucha atención a sus fórmulas, puede recordar que un polinomio de la forma a ^{2 - b 2 se determina a (a + b) (a - b).
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Una vez que sus polinomios están completamente factorizados, el último paso es cancelar cualquier Factores comunes que aparecen tanto en el numerador como en el denominador. El resultado es su polinomio simplificado.

TL; DR (Demasiado largo; No se leyó)

¿Qué pasa si los polinomios en su expresión racional no son de una forma que sepa cómo? factor fácilmente? Existen otras técnicas que puede usar para factorizarlos, como completar el cuadrado o usar la fórmula cuadrática.
Advertencia sobre el Denominador

Es posible que no se sorprenda al escuchar que hay un pequeño problema aquí. Generalmente, se asume que el dominio (o conjunto de posibles valores x) para su expresión racional es el conjunto de todos los números reales. Pero si algo sucede para hacer que el denominador de su fracción sea cero, el resultado es una fracción indefinida.

¿Qué haría que su denominador sea cero? Por lo general, basta un pequeño examen para descubrirlo. Por ejemplo, si el denominador de su fracción se ha reducido a los factores (x + 2) (x - 2), entonces el valor x = -2 haría que el primer factor sea igual a cero, y x = 2 haría que segundo factor igual a cero.

Por lo tanto, ambos valores, -2 y 2, deben ser excluidos del dominio de su expresión racional. Por lo general, notará esto con el signo "no es igual" o. Por ejemplo, si necesita excluir -2 y 2 del dominio, escribiría x ≠ -2, 2.
Simplificando expresiones racionales: ejemplos

Ahora que entiende el proceso de simplificación racional expresiones, es hora de mirar un par de ejemplos.

Ejemplo 1: Simplifique la expresión racional (x ^{2 - 4) /(x 2+ 4x + 4)}

No hay términos similares para combinar aquí, por lo que puede omitir ese primer paso. A continuación, con sus ojos entusiastas y un poco de práctica, puede observar que el numerador y el denominador se pueden factorizar fácilmente:

(x + 2) (x - 2) /(x + 2) (x + 2 )

Quizás también descubras que (x + 2) es un factor tanto en el numerador como en el denominador. Una vez que canceles el factor compartido, te quedas con:

(x - 2) /(x + 2)

Has simplificado tu expresión racional tanto como puedes, pero hay una cosa más que hacer: identificar los "ceros" o las raíces que darían lugar a una fracción indefinida, por lo que puede excluirlos del dominio. En este caso, es fácil ver por examen que cuando x = -2, el factor en la parte inferior será igual a cero. Entonces, tu expresión racional simplificada es en realidad:

(x - 2) /(x + 2), x ≠ -2

Ejemplo 2: Simplifica la expresión racional x /(x ^{2 - 4x)}

No hay términos similares para combinar, por lo que puede ir directamente a la factorización mediante el examen. No es demasiado difícil detectar que puedes factorizar una x fuera del término inferior, lo que te da:

x /x (x - 4)

Puedes cancelar el factor x desde ambos numerador y denominador, que te deja con:

1 /(x - 4)

Ahora tu expresión racional está simplificada, pero también debes tener en cuenta los valores de x que podrían resultar en un indefinido fracción. En este caso, x = 4 devolvería un valor de cero en el denominador. Entonces tu respuesta es:

1 /(x - 4), x ≠ 4