En álgebra lineal, el determinante De una matriz cuadrada hay un valor escalar que proporciona información sobre las propiedades y el comportamiento de la matriz. Se denota por det (a) o | a | , donde A es la matriz.

Propiedades de los determinantes:

* Multiplicación escalar: El determinante de un múltiplo escalar de una matriz es igual al escalar elevado al poder del orden de la matriz multiplicado por el determinante de la matriz original:det (ka) =k^n det (a), donde n es el orden de la matriz.

* Transposición: El determinante de una matriz es igual al determinante de su transposición:det (a) =det (a^t).

* Operaciones de fila/columna: Las operaciones de fila o columna elementales en una matriz afectan el determinante de la siguiente manera:

* Cambiar dos filas/columnas cambia el signo del determinante.

* Multiplicar una fila/columna por un escalar multiplica el determinante por ese escalar.

* Agregar un múltiplo de una fila/columna a otra fila/columna no cambia el determinante.

* Matrices invertibles: Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es cero.

* Dependencia lineal: Si las filas o columnas de una matriz dependen linealmente, entonces su determinante es cero.

Cálculo de determinantes:

* para matrices 2x2:

det ([[a, b], [c, d]]) =AD - BC

* para matrices 3x3:

Det ([[A, B, C], [D, E, F], [G, H, I]]) =A (Ei - Fh) - B (Di - Fg) + C (DH - EG)

* Para matrices más grandes:

Los determinantes de matrices más grandes se pueden calcular utilizando varios métodos, como la expansión del cofactor, la eliminación gaussiana o el uso de algoritmos especializados.

Aplicaciones de determinantes:

* Resolver ecuaciones lineales: Los determinantes se utilizan en la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

* Encontrar valores propios: Los determinantes se utilizan para encontrar los valores propios de una matriz.

* Cálculo de áreas y volúmenes: Los determinantes pueden usarse para calcular el área de un paralelogramo y el volumen de un paralelepípedo.

* Transformaciones geométricas: Los determinantes se usan en geometría para representar el factor de escala de las transformaciones lineales.

Ejemplo:

Considere la matriz a =[[2, 1], [3, 4]].

El determinante de A es:

det (a) =(2 * 4) - (1 * 3) =8 - 3 =5.

Dado que el determinante no es cero, la matriz A es invertible.