La ecuación de un plano en el espacio tridimensional se puede escribir en notación algebraica como ax + by + cz = d, donde al menos una de las constantes de números reales "a", "b" y "c" no debe ser cero, y "x", "y" y "z" representan los ejes del plano tridimensional. Si se otorgan tres puntos, puede determinar el plano utilizando productos vectoriales cruzados. Un vector es una línea en el espacio. Un producto cruzado es la multiplicación de dos vectores.
Obtenga los tres puntos en el avión. Rotúelos "A", "B" y "C". Por ejemplo, suponga que estos puntos son A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); y C = (1, 3, 4).
Encuentra dos vectores diferentes en el plano. En el ejemplo, elija los vectores AB y AC. El vector AB va del punto-A al punto-B, y el vector AC va del punto-A al punto-C. Así que resta cada coordenada en el punto-A de cada coordenada en el punto-B para obtener el vector AB: (-2, 3, 1). De forma similar, el vector AC es el punto C menos el punto A, o (-2, 2, 3).
Calcule el producto cruzado de los dos vectores para obtener un nuevo vector, que es normal (o perpendicular o ortogonal) a cada uno de los dos vectores y también al plano. El producto cruzado de dos vectores, (a1, a2, a3) y (b1, b2, b3), viene dado por N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). En el ejemplo, el producto cruzado, N, de AB y AC es i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], que se simplifica a N = 7i + 4j + 2k. Tenga en cuenta que "i", "j" y "k" se utilizan para representar las coordenadas del vector.
Derive la ecuación del plano. La ecuación del plano es Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, donde (a1, a2, a3) es cualquier punto en el plano y (Ni, Nj, Nk ) es el vector normal, N. En el ejemplo, usando el punto C, que es (1, 3, 4), la ecuación del plano es 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, que se simplifica a 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0, o 7x + 4y + 2z = 27.
Verifique su respuesta. Sustituye los puntos originales para ver si satisfacen la ecuación del avión. Para concluir el ejemplo, si sustituye cualquiera de los tres puntos, verá que la ecuación del avión está realmente satisfecha.
Consejo
Consulte Recursos para obtener consejos sobre cómo usar los sistemas de tres ecuaciones simultáneas para encontrar la ecuación de un avión.
