Una serie de Taylor es un método numérico para representar una función dada. Este método tiene aplicación en muchos campos de ingeniería. En algunos casos, como la transferencia de calor, el análisis diferencial da como resultado una ecuación que se ajusta a la forma de una serie de Taylor. Una serie de Taylor también puede representar una integral si la integral de esa función no existe analíticamente. Estas representaciones no son valores exactos, pero el cálculo de más términos en la serie hará que la aproximación sea más precisa.
Elija un centro para la serie de Taylor. Este número es arbitrario, pero es una buena idea elegir un centro donde haya simetría en la función o donde el valor para el centro simplifique las matemáticas del problema. Si está calculando la representación de la serie Taylor de f (x) = sin (x), un buen centro para usar es a = 0.
Determine el número de términos que desea calcular. Cuantos más términos use, más precisa será su representación, pero como una serie de Taylor es una serie infinita, es imposible incluir todos los términos posibles. El ejemplo de sin (x) usará seis términos.
Calcule los derivados que necesitará para la serie. Para este ejemplo, debe calcular todas las derivadas hasta la sexta derivada. Como la serie de Taylor comienza en "n = 0", debe incluir la derivada "0", que es solo la función original. 0ª derivada = sin (x) 1 ° = cos (x) 2 ° = -sin (x) 3 ° = -cos (x) 4 ° = sin (x) 5 ° = cos (x) 6 ° = -sin (x)
Calcule el valor de cada derivado en el centro que elija. Estos valores serán los numeradores de los primeros seis términos de la serie de Taylor. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Use los cálculos derivados y centre para determinar los términos de la serie Taylor. Primer término; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2do término; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x /1! Tercer término; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! Cuarto término; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! Quinto término; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! Sexto término; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Serie de Taylor para sin (x): sin (x) = 0 + x /1! + 0 - (x ^ 3) /3! + 0 + (x ^ 5) /5! + ...
Elimine los términos cero en la serie y simplifique la expresión algebraicamente para determinar la representación simplificada de la función. Esta será una serie completamente diferente, por lo que los valores de "n" utilizados anteriormente ya no se aplican. sin (x) = 0 + x /1! + 0 - (x ^ 3) /3! + 0 + (x ^ 5) /5! + ... sin (x) = x /1! - (x ^ 3) /3! + (x ^ 5) /5! - ... Dado que los signos alternan entre positivo y negativo, el primer componente de la ecuación simplificada debe ser (-1) ^ n, ya que no hay números pares en la serie. El término (-1) ^ n da como resultado un signo negativo cuando n es impar y un signo positivo cuando n es par. La representación en serie de los números impares es (2n + 1). Cuando n = 0, este término es igual a 1; cuando n = 1, este término equivale a 3 y así sucesivamente hasta el infinito. En este ejemplo, use esta representación para los exponentes de x y los factoriales en el denominador
Use la representación de la función en lugar de la función original. Para ecuaciones más avanzadas y más difíciles, una serie de Taylor puede hacer que una ecuación sin solución pueda resolverse, o al menos proporcionar una solución numérica razonable.
